换元放缩思路综合探究

摘　要：本文将换元与放缩两种思路结合应用求解相关问题，在分类认识的基础上，通过与常规思路的对比，提炼出适合学生认识这一类问题的基本方法，并给出了详尽的讨论与基本的应对模式。
关健词：换元放缩　分类对比　应对策略
        换元与放缩是高中数学中两个重要的解题方法与技巧，融含着深刻的逻辑推理与数学转化思想。理解这两种方法的本质与强化这两种思维的应用，能够使知识低层次不断分化，高层次重新组合，形成科学高效的思维，促使创新能力的发展。换元与放缩两种思路的结合应用， 更会使许多问题的求解变得简捷高效，更加有利于培养思维的灵活性、发散性、独创性，形成深刻的洞察力。
        本文集锦了一些两种方法结合应用的题目，在分类认识的基础上，通过与常规思路的对比，以达到启迪思维的妙用。
        一、换元放缩在含参方程中的应用
        例1、若关于x的方程16x+（4+a）·4x+4=0有解，则实数a取值范围是（　）。
         A、（-∞，-4）　　　B、（-∞，4　8-4）
        C、（-8，-4]　　　　　　　　D、（-∞，-8] 
        解法一：常规思路。
        令t=4x（t≥0），原方程可化为t2+（4+a）t+4=0。
        由题意知此方程需要有正根，所以△≥0且两根之和为正数，则可得不等式组：
        （a+4）2-16≥0
        -（a+4）>0
        从而易得：a≤-8。
        解法二：换元放缩思路。
        令t=4x（t≥0），原方程可化为t2+（4+a）t+4=0。
        移项并两边同除以t（t>0），则可知：
        （4+a）=-t-　≤-4　
        从而易得：a≤-8。
        点评：第一种方法是换元与一元二次根的判别式结合求解，是换元转换后首先想到的基本思路。第二种换元转换后采用方程形式的等效转换，得到了有效形式后采用放缩得到了结果。显然第二种方法求解过程简捷高效，有利于思维深层次的训练。换元后将复杂方程转换为一元二次方程是解题的基础，应用换元自变量的定义域使方程转化为可放缩的形式是解题的关键，利用不等式的性质放缩后得到结果是解题的技巧。
        二、换元放缩在不等式中的应用
        例2、已知a、b、c、d∈R，求证：ac+bd≤　（a2+b2）（c2+d2） 
        解法一：常规思路。
        ∵（a2+b2）（c2+d2）－(ac+bd)2=（bc+ad）2≥0 
        ∴（a2+b2）（c2+d2）≥(ac+bd)2
        ∴　（a2+b2）（c2+d2）≥|ac+bd|≥ac+bd
        即：ac+bd≤　（a2+b2）（c2+d2）
        解法二：换元放缩思路。
        设：　　　　，　　　　　（r1、r2均为变量），则：
        ac+bd=r1r2cosacosβ+r1r2sinasinβ=r1r2cos（a-β）≤|r1r2| 
        |r1r2|=|r1||r2|=　a2+b2·　c2+d2=　（a2+b2）（c2+d2）
        即：ac+bd≤　（a2+b2）（c2+d2）
        点评：第一种应用的是差值比较与放缩法直接得到了结果。第二种采用三角换元的方式，利用三角函数的值域进行放缩得到了结果。从形式上看，第一种解法比第二种解法思维直接，解题过程简单，但第一种解法需要多次转换，思维歧点较多；第二种采用三角转换后，歧点较少，开辟直接到达结果的目的。利用三角换元是解题的基础，利用三角函数的值域进行放缩是解题的关键，利用三角函数的性质使三角形式转换为原不等式是解题的技巧。
        三、换元放缩在含参不等式中的应用
        例3、已知x∈R时，32x-（k+1）·3x+2>0。则k的取值范围是（　）。
        A、（-∞，-1）　　　B、（-∞，2　2-1）
        C、（-1，2　2-1）　　D、（-2　2-，2　2-1） 
        解法一：常规思路。
        设t=3x（t>0），则原不等式可转化为：t2-（k+1）t+2>0。
        对应方程t2-（k+1）t+2=0的△=（k+1）2-8=k2+2k-7
        （1）当-2　2-1<k<2　2-1时，△<0，方程t2-（k+1）t+2=0无实根，不等式t2-（k+1）t+2>0恒成立。 
因此当 k∈（-2　2-1，2　2-1），不等式32x-（k+1）·3x+2>0是成立的。
        （2）当k≤-2　2-1或k≥2　2-1时，△≥0，方程t2-（k+1）t+2=0有实数根。设此方程两个实根为t1、t2，且t1≤t2，要使得t>0时不等式t2-（k+1）t+2>0成立，则方程t2-（k+1）t+2=0的大根t2≤0。
        ∵t1·t2=2>0
        ∴t2≠0
        又∵t1+t2=k+1<0
        即：k<-1
        结合分析条件k≤-2　2-1或k≥2　2－１可知：k∈（-∞，-2　2-1]；
        即当k∈（-∞，-2　2-1]时，32x-（k+1）·3x+2>0是成立的。
        只要满足（1）或（2）结果，32x-（k+1）·3x+2>0均成立，因此k取值范围是（-∞，2　2-1）。