求二次函数关系式的技巧

        求二次函数的关系式，是初中数学的重要内容之一.学会求二次函数的关系式，可使许多问题迎刃而解，怎样求二次函数的关系式呢？有什么技巧呢？现举例说明如下.
        一、用二次函数的性质求
        例１　已知某二次函数的图像关于y轴对称，且过点（０，８），其形状和y＝２x２＋３x＋５的图像形状相同，位置不同，开口方向相反.求此二次函数的关系式？
        分析与解：此题必须熟知二次函数关系式中的系数和图像的关系.二次项的系数的绝对值决定它的形状，只要其绝对值相等，其形状就形同，二次项系数的正负决定它的开口方向，二次项的系数是正数，则图像开口向上，是负数则开口向下.一次项的系数决定图像的左右位置：开口向上时，一次项的系数增大，图像向左平移，一次项的系数减小，图像向右平移；开口向下时，一次项的系数增大，图像向右平移，一次项的系数减小，图像向左平移；一次项的系数为零时，图像关于y轴对称.常数项就是图像与y轴的交点纵坐标.知道了如上知识，不难知道，本题中的二次函数的二次项系数为负２，一次项系数为０，常数项为８，所以此二次函数的关系式为y＝－２x２＋８．此题的技巧在于弄清并利用系数与图像的关系.
        二、用一般式求
        例２　已知某二次函数的图像过点（０，０），（１，－６）和（２， －８）.求此二次函数的关系式.
        分析与解：此函数的图像过点（０，０），说明其常数项为０，所以，可设其函数关系式为：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，把点（１，－６）和点（２，－８）代入得方程－６＝ａ＋ｂ和－８＝４ａ＋２ｂ，这二个方程组成方程组，解之可得：ａ＝２，ｂ＝－８.所以此函数的表达式为ｙ＝２ｘ２－８ｘ．此方法的技巧是利用坐标与图像的关系，推出常数项为０，使列的方程组较简便.
        三、用顶点式或两根式求
        例３　已知某二次函数过点（１，０），（５，０）和（３，８）.求此二次函数的关系式.
        １． 用顶点式求
        分析与解：仔细观察，不难发现，给出的三个点的横坐标分别是１，３，５．其中３恰好在１和５的中间，根据二次函数图像的对称性可知，３就是它的顶点横坐标，那么（３，８）就是它的顶点坐标，所以此题也可用顶点式来求，设它的关系式为：ｙ＝ａ（ｘ－３）２＋８．把点（１，０）代入得０＝ａ（１－３）２＋８ 解此方程可得ａ＝－２，所以此二次函数的关系式为ｙ＝－２（ｘ－３）２＋８，化为一般形式为ｙ＝－２ｘ２＋１２ｘ－１０．此方法的技巧在于：利用二次函数的对称性，发现（３，８）是顶点坐标，利用顶点式求解，又快又对.
        ２．用两根式求
        分析与解：仔细观察还可发现，点（１，０），（５，０）都在x轴上，所以还可用两根式求解，设ｙ＝ａ（ｘ－１）（ｘ－５），把点（３，８）代入此关系式得８＝ａ（３－１）（３－５），解得ａ＝－２，所以此二次函数关系式为ｙ＝－２（ｘ－１）（ｘ－５）．化为一般形式为ｙ＝－２ｘ２＋１２ｘ－１０ 此方法的技巧是：仔细观察，发现两根，再用两根式求解.