评“深广教学”

        为了快速提高分数,有些教师喜欢采用“深广教学”。所谓“深广教学”就是相对教学大纲规定，有意识提高难度（深）,扩大知识面（广）。在数学教学中主要是不断地补充一些公式、补充一些特殊的解题方法等。
        这些补充的公式或方法往往只对一些极其特殊的问题有效，方法缺乏普遍性久而久之学生认为学数学就是不断地套公式、套题型、一但试题稍加变化，学生就无所适从，而且这些补充的众多公式与方法大多是不加证明的――因为时间不允许，更没有学生探索、分析、比较的发现过程，学生大多是凭记忆死记它们，这大地增加了学生的记忆负担，这样的学生会有想象力和创造性思维吗？
        那么这种补充是否有必要呢？有人一定会振振有词地说补充后解决一些高考题非常有效，的确，我们一些高考命题专家就是上述无节制补充公式和方法的爱好者，但这绝不是高考命题的主流，即便是无节制补充公式和方法的爱好者为迎合某个补充公式或某种补充技巧方法的“好题”用我们的基本公式与基本方法是不难解决的.下面就以几个例子来加以具体地说明。
        已知等差数列{an}中a2+a3+a10+a11=48,求S12
        注：这是非常常见的“好题”――尤其为那些补充过等差数列的一条性质的人所推崇，这条补充的性质就是am+an=ap+aq，其中m+n=p+q用这条性质很容易解决这一问题（略去解题过程，因为这是众所周知的），笔者的观点是：确定一个等差数列一般只需要确定首项与公差，因此一般有关等差数列的问题的解决关键是寻找首项与公差，当然这对本题来说不可能，因为只有一个条件，只能列出一个关于首项与公差的方程，此时我们应该如何解决问题，一般地，如何面对未知数的个数大于方程的个数，对此我们有两种选择，第一、消元；第二、直接研究已知与未知的关系――当然是以首项与公差为参变量，解法如下：
        法一：由已知有：a1+d+a1+2d+a1+9d+a1+10d=48
        4a1+22d=48,    a1=(24－11d)/2
        S12=12a1+6×11d=12(24－11d)/2+6×11d=6×24=144
        法二、仿上法有：2a1+11d=24
        又S12=12a1+6×11d＝6（2a1+11d）＝6×24=144
        对于上述的解题方法，如果不加思考，任何人都会说法一与法二比常用方法繁，但常用方法的简单是有代价的，即首先需补充公式，这补充的公式也许对于终身从事数学教学的高中数学教师来说是非常显然的，但对于要学习十几门学科、学习能力各不相同的高中生来说恐怕就是负担了，而法一与法二虽然比流行作法复杂，但它对我们是有补偿的，第一是不需要额外补充公式，第二、这两种方法都有普遍性。