浅析基于Copula-ES度量股票型基金投资组合风险

　【摘要】由于许多金融资产收益率的波动可能存在非对称性，本文通过对收益率采用GARCH或者EGARCH建模，对存在杠杠效应的金融资产采用EGARCH建模。并将Copula函数和Monte Carlo技术应用于融通深证100基金，计算得到其前十大重仓的股票及其投资组合的风险值VaR以及ES，结果表明，基于Copula-ES的风险度量方法可以为我国基金管理公司评估和管理市场风险，从而控制和减少资产损失提供参考。
　　1.引言
　　近年来金融工具及其衍生物越来越多元化，其带来的不确定因素也越来越大，因而金融市场的风险也就越来越高。金融市场间的关系更是变得日趋复杂，更多的呈现出非线性、非对称和厚尾的特性，金融波动和危机的频繁出现使聚合风险管理和金融市场间相依关系分析成为国内外关注的焦点。
　　现阶段最常使用的风险度量指标是20世纪90年代J.P.Morgan和G30集团提出的VaR（Value at Risk）方法，VaR旨在一定的置信水平下，估计金融资产或组合受市场因子波动影响，而在未来特定的一段时间内的最大可能损失。严格的说，VaR描述了在一定的目标期间内收益和损失的预期分布的分位数。如果c代表置信水平，VaR对应的是较低的尾部水平1-c。可表示为：
　　其中，表示某事件的概率，表示资产或资产组合在持有期内的损失，c为置信度水平。在最近这些年VaR作为金融风险度量工具得到了广泛的应用，然而，研究发现VaR不具有次可加性和一致性的风险度量，后来针对这一问题，ACerbi等[2-3]提出了期望损失ES（expected shortfall）的定义。
　　假设R为持有期内资产或者资产组合的损益，并假设R的累积分布函数F（r）（CDF）是连续的，那么对于置信水平，VaR也可以用如下定义：
　　式中，表示R的分布在给定显着水平的下侧分位数。假设表示R的概率密度函数，那么置信水平为1-c下的ES可以定义为：
　　式中，为示性函数。ES实质上是将资产价值r乘以权重的从-到0的积分，这样它就把超过VaR水平的损失部分考虑进去了。从经济意义上讲，ES就是指当损失超过VaR时的平均损失。由于它同时具有了次可加性和一致性，是一个较好的风险度量工具。Rappoport（1993）第一次在金融行业中用它来做风险管理的一个工具，后来ACerbi（1997）等人证明了该方法是一个一致性的风险度量工具。
　　同时，通过引入Copula函数度量资产组合集成风险的方法已经越来越成熟。SchwEizer和Sklar最早提出Copula函数的概念及其它的一些性质。后来Sklar指出了Copula函数可以把具有不同类型边缘分布函数连接起来，并且能抓住它在风险管理应用中的本质特征（例如：尖峰厚尾性）；Emberchts等第一次把该方法引入到金融类相关研究之中。许多研究学者在他们的基础上做了很多有意义的研究。例如：Breymann等人研究表明了学生t-Copula的经验拟合比高斯Copula优越很多；Ceske，Hemandez（1999）提出可以将Copula函数与MonteCarlo技术结合计算相关损失；MATTEIS对Archimedean Copula做了很好的总结。
　　在我国，Copula函数方法在金融上的应用才刚刚起步，且其中绝大多数文献做的是介绍性、引入性的研究。最早见的是张尧庭（2002）提出Copula函数在金融风险领域大有可为；史道济利用Copula函数研究外汇组合的相关性；司继文（2004，2005）分别将Copula函数应用于国内外的股票市场和期货市场；韦艳华、张世英（2004）将GARCH模型应用于Copula函数，来度量金融时间序列的自相关结构。前人的研究主要集中在利用Copula函数对股市或资产组合的相关性研究。而韦艳华（2004）利用GARCH模型拟合正态Copula函数的边缘分布，然后运用Monte Carlo仿真技术计算投资组合的VaR。
　　本文创新一是采用GARCH或者EGARCH模型来拟合t-Copula函数的边缘分布，克服了传统GARCH模型不能处理特定非对称金融时间序列的局限性。对此，本文也比较分析了单独使用GARCH下和本文采取的方法下的风险值，研究表明本文提出改进的思路对风险估计更为准确。改进二在于对于风险衡量的指标不是仅仅采用VaR，而是利用VaR与ES双监管的风险度量方法，克服了传统风险度量VaR的很多缺陷（不具有次可加性、正齐次性等）。最后通过度量我国股票型开放式基金的市场风险为出发点，运用Monte Carlo仿真技术计算投资组合的VaR以及ES，具有很强的实用价值。
　　2.GARCH或者EGARCH收益率分布模型
　　对于某一金融资产，投资者最想知道的是将来某个时刻该资产收益率的信息。由于金融资产收益率的尖峰厚尾性、条件异方差性、波动聚集性和杠杆效应等，普通的GARCH模型对对前三者能较好的刻画，但是对于杠杠效应GARCH模型不能刻画出，因此，本文对不存在杠杆效应的收益率序列采用GARCH模型拟合资产收益率的特征，对存在杠杠效应的收益率序列采用EGARC模型刻画。该模型是Glosten Jagannathan和Runkle在Engle提出自回归条件异方差（ARCH）模型和Bofloerselev提出的广义自回归条件异方差（GARCH）模型的基础上改进提出的，它考虑了坏消息和好消息对波动性不同的影响。
　　假设投资组合中有d种金融资产，对于资产i，直接根据最近的n期历史收益率数据（t=1，2，…，n）运用GARCH其中EAGCH模型中条件方差采用自然对数形式，意味着非负，且杠杠效应为指数型的。模型中引入了一个重要参数，若，说明信息作用非对称，存在杠杠效应。为第i个资产收益率序列；为的条件均值项；v是t分布的自由度。为待估参数；随机扰动项服从均值为0，方差为1的标准t分布。即：
　　它的形式使得GARCH或者EGARCH模型能够较好地描述收益率序列的各种特性（如条件异方差性、波动聚集性）。
　　假定利用观察资产收益率历史数据样本可以得到，在估计出参数后，可以得到下一时刻收益率的条件分布：
　　其中，是自由度为v的t分布函数，是到时刻t为止的信息集。利用Matlab可以很方便地由样本观测数据估计出GARCH模型的各个参数，从而由式（2）得到给定T时刻前信息集的条件概率分布。
　　3.Copula函数的参数估计
　　在资产分配、衍生品定价和风险管理等许多金融领域中，有关风险因素之间的相关性度量及其重要。许多文献中常采用多元正态函数，然而各种金融资产的收益率之间一般并不符合多元正态分布的假设，为此，本文使用Copula函数来解决这个问题。

　由Sklar定理可知，对于一个具有边际分布函数为（）的金融资产的联合分布函数F，一定能找到一个Copula函数C，使得：
　　如果所有的边际分布函数都连续则从上式定义的Copula函数是唯一的。从上式可以计算得出Copula：
　　 其中，
　　文献表明，t-Copula能更好地刻画各个金融资产的尾部相关性，本文研究的是t-Copula连接函数分布。
　　其中，表示相关系数矩阵为R，自由度为v的维标准t分布函数，表示自由度为v的单变量标准t分布函数的反函数。Copula模型为：
　参数v为t分布的自由度。为d维t-Copula分布，表示均值为0，方差为1，自由度参数为的正规化t分布函数，即：
　　式中是伽马函数。由于t-Copula的密度函数对任意维数都不是一个简单的形式，本文根据t-Copula函数形式使用matlab工具估计其参数，过程
　　（1）把资产收益率数据通过概率积分变换转化为一致分布；
　　（2）用对数似然函数法估计学生t-Copula的参数：
　　此处的copula函数c为公式（4）给出的；
　　（3）令，此处是单变量累积标准正态分布函数；