从高考试题分析函数教学思路

       一、几个高考案例
        案例１：（０６年四川高考文）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋３ａｘ－１，ｇ（ｘ）＝ｆ ′（ｘ）－ａｘ－５，其中ｆ ′（ｘ）是的ｆ（ｘ）的导函数．
        （１）对满足－１≤ａ≤１的一切的值，都有ｇ（ｘ）＜０，求实数ｘ的取值范围；
        （２）设ａ＝－ｍ２，当实数ｍ在什么范围内变化时，函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与直线ｙ＝３只有一个公共点．
        案例２：（０７年四川高考文，本小题满分１２分）设函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）为奇函数，其图象在点（１，ｆ（１））处的切线与直线ｘ－６ｙ－７＝０垂直，导函数ｆ ′（ｘ）的最小值为－１２．
        （１）求ａ，ｂ，ｃ的值；
        （２）求函数ｆ（ｘ）的单调递增区间，并求函数ｆ（ｘ）在［－１，３］上的最大值和最小值．
        案例３：（０８年四川高考文，本小题满分１２分）设ｘ＝１和ｘ＝２是函数ｆ（ｘ）＝ｘ５＋ａｘ３＋ｂｘ＋１的两个极值点．
        （１）求ａ和ｂ的值；
        （２）求ｆ（ｘ）的单调区间．
        案例４：（０９年四川高考文，本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋２ｂｘ２＋ｃｘ－２的图象在与ｘ轴交点处的切线方程是ｙ＝５ｘ－１０．
        （１）求函数ｆ（ｘ）的解析式；
        （２）设函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｍｘ，若ｇ（ｘ）的极值存在，求实数ｍ的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量ｘ的值．
        在连续四年的高考中都考到了高三选修内容的函数求导、极值、单调性、最值、导数几何意义（即导函数在某一点的导数值就是这一点切线的斜率）．在考查这些知识的同时也考查这些知识的运用能力，既考查了教材也考查了教材知识的运用．函数求导作为数学的工具和基础地位在这几个案例中得到了充分的体现和重视，从复习的角度来看，我认为高三文科在函数复习时应做好以下工作．夯实求导和二次函数这两个工具．
        二、夯实求导这个工具
        函数求导能解决函数的单调性、极值、切线的斜率、最值等问题．函数求导是数学和物理学的重要工具．在上述四个案例中都对函数的单调性，极值，切线的斜率和函数的最值都相当重视，因此在高三的复习中一定要准确把握和练习求导这个内容．其重点有：
        １．对教材中要求的公式进行求导强化练习，如：（ｃ）′＝０，（ｘｎ）′＝ｎｘｎ－１，（ｃｘｎ）′＝ｃｎｘｎ－１，［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］′＝ｆ ′（ｘ）±ｇ′（ｘ），［ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）］＝ｆ ′（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｇ′（ｘ）ｆ（ｘ）．如上述四个案例首先涉及到的就是对原函数进行求导，再在求导的基础上进行求解．
        ２．利用ｆ ′（ｘ）的意义进行解题练习
        （１）ｆ ′（ｘ）＞０所对应的区间是ｆ（ｘ）的递增区间，ｆ ′（ｘ）＜０所对应的区间是ｆ（ｘ）的递减区间．充分运用这一结论进行函数单调区间的求解练习．如上述案例２，本题的第（１）问就是利用ｆ ′（ｘ）＞０所对应的区间是ｆ（ｘ）的递增区间，利用ｆ ′（ｘ）＜０所对应的区间是ｆ（ｘ）的递减区间这一结论来求解函数的单调区间的．