数学“错解”效能

       教学过程中，不但要引导启发学生正面接受知识，解答问题，而且还要针对实际，结合学生认知的“漏洞”和思维的“盲区”，对学生易于出现的错误，及时展示给学生，让学生在讨论中探究错解出现的原因，从而做到调动学生学习的积极性，克服依赖性，从而提高学生的观察、创新思维能力。
         例3、已知双曲线3x2-y2=3,过点P(1、1)能否作一直线L与所给的双曲线交于两点A、B，且使P恰好为线段AB的中点？
         先让学生思考，最后启发提问，学生不难说出本题的两种解题思路，然后教师可展示出两种解法。
         法一、设直线L的斜率为K，则直线L的方程为y-1=k(x-1),将其与双曲线方程联立，消去y得(3-k2)x2+(2k2-2k)x-(1-k)2-3=0,(x1+x2)/2=(k-k2)/(3-k2)=1,解得k=3
         ∴所求直线L的方程为y=3x-2
         法二、设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有3x12-y12=3  3x22-y22=3
         两式相减，得3(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0
         又x1+x2=2,y1+y2=2
         ∴(y1-y2)(x1-x2)=3
         ∴kAB=3,从而得直线L的方程为y=3x-2
         （师）：这两法都很好!它是处理直线和二次曲线相交弦有关问题的常规方法，法一巧妙地利用了韦达定理，法二通过分离斜率，简捷明快，但请大家注意观察这两种解法是否还存在缺陷呢？(学生演算或发表议论，有学生站起发表看法)
         （生1）：所得直线y=3x-2与已知双曲线没有交点，所以所求不对。(教师以赞赏的表情给予肯定)
         （生2）将x=1代入已知双曲线方程得y=0，即坐标为(1、0)的点在双曲线上，且为右顶点，所以点P(1、1)在双曲线的外部，所以以P为中点的弦不存在。
         （师）：既然以P为中点的弦不存在，那为什么又确切地求出了直线L的方程呢？(学生议论)
         （生3）：在解1中，得到的关于x的一元二次方程，还需考虑判别式△>0，从而得出K的范围，而K=3不在其范围之内；对于解法二，只是“设”而不求，不知A、B两点是否存在，应联立所得直线与双曲线方程，判断是否有交点。
         （师）：同学们回答得很好!两种解法出错的根源在于忽视了题设的存在性，忽略了某些环节。那么点P与双曲线的位置关系如何时，才能存在所求直线？
         （生4）：点P只有在双曲线内部时才存在所求直线。
         （师）：大家想一想，这种方法还适用于直线与哪些二次曲线相交的问题(讨论)
         （生5）：这种方法对圆、椭圆、抛物线都适用。(教师给予肯定)。
         （师）：(总结)对存在性问题可先假设其存在，对直线二次曲线相交的中点弦问题一般均可“设”而不求，用分离斜率的方法或利用韦达定理求解，但要关注或验证假设的可靠性。从而从“错解”中寻求得出正确结论，此题通过验证或采用数形结合思想可知，这样的直线L不存在。