数学“错解”效能

         数学解题在数学教学过程中占重要地位，是实现教育教学目的不可缺少的手段，通过解题活动获取知识，培养良好的思维品质，不断提高数学逻辑思维能力，从而进一步培养解决问题的能力；可是，在解答数学问题的过程中，可能是成功的发现，也可能是失败的尝试，需要去伪存真，经受解题实践的检验，如果某种探索被否定了，还可根据题目的实际情况对解题策略进行调控，修正解题途径，甚至重新构思解题方案；平时教育学生学习知识要知其然，更要知其所以然，但在学生的解题过程中笔者认为，此时教师应做的是让学生知其所以错，如何去纠正错误，将“纠错”这一环节充分地融入到教学过程中去，即“错解”教学法。在“错解”教学法过程中，能较全面地使学生理解和掌握知识，更好地把握问题实质，纠正学生平时做题的一些习惯性错误；可以使学生在原有认识的基础上来一次再认识，从另一侧面加深对知识的理解和运用，增强和提高学生能力。本文结合教学实践谈谈“错解”教学法对培养学生能力的一点粗浅体会。
         一、培养分析问题的能力
         例1.一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低p%，写出成本随年数变化的函数关系式。
         通过学生思考、演练、发现有如下几种解答情形：
         (1)设m年后的产量为y，则y=a(1-p%)m
         (2)设第m年的产量为y，则y=a(1-p%)m
         (3)设第x年产量为y，则y=a(1-p%)x  ()
         分析：对解法(1)，题意理解不清，实际需写m年内的任某一年的函数关系，而假设是指m年后的产量，与题意不符。对解法(2)，①题设中m为某一确定常数，而假设中m为变量；②、式y=a(1-p%)m中m为自变量，由题意知m≤m(今后m年内)，定义域不知为何；③、显然，自变量知m可取无限个数，这与现实不符，因计划只能定义在有限多少年内。对解法(3)，有如下推导：原来的年产量为a，则第一年产量为y1=a(1-p%)、第二年产量为y2=a(1-p%)2…、第n年产量yn=a(1-p%)n, 它构成一个等比数列，首项为y1=a(1-p%),公比为q=1-p%,由此可得函数关系式为y=a(1-p%)x()。
         反思：造成上述解法错误或不完整的原因
        (1)指数m与m年内两概念混淆；前m指自变量，后m指某一确定常数。
        (2)不知建模或不知如何建模，仅凭感觉。
        (3)对题意理解不透，没有探索只是相当然。
        (4)对函数概念本质不甚理解。
         通过错解纠错，概念简述，弄清问题实质。
        二、培养学生的发散思维能力
        例2、已知函数，当x取何值时，函数有量小值并求出最小值。
         作变形，得，稍作提示得到如下多种结果：
         (1)设A(-2、-4)、B(3、-2)、P(X、0)，则y=|PA|+|PB|由图易知，且X=4/3
         (2)设z1=(x+2)+4i、z2=(3-x)+2i，y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|5+6i|=,有最小值，此时x=4/3。
         (3)设z1=(x+2)+4i，z2=(3-x)-2i，则y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|5+2i|=，即函数有最小值，此时x=8。
         (4)设z1=(x+2)+4i， z2=（x-3）-2i，则y=|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|5+6i|=,此时x=4/3
         (5)设z1=(x+2)+4i,z2=(x-3)+2i则y=|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|5+2i|=，此时x=8，
         分析：明确肯定(1)正确，却对(2)、(3)、(4)、(5)、学生就感到惊讶，模棱两可，认为思路相同，方式一致，找不出存在的问题。
         发散一：(一) (2)、(3)、(4)、(5)形式一致，本质是否相同？(二) (2)与(3)、(4)与(5)的假设略有不同，是否为问题的症结？(三)|z1|+|z2|≥|z1+z2|,|z1|+|z2|≥|z1-z2|中等号成立的条件各是什么？解法是否与其相符？学生恍然大悟，得出|z1|+|z2|≥|z1+z2|等号成立的条件是向量z1与z2共线且同向，即存在实数a>0使得z1=az2；|z1|+|z2|≥|z1-z2|等号成立的条件是向量z1与z2共线且反向，即存在实数a<0使得z1=az2。通过上述发散，思路已较为清晰，已能确定哪些解法正确。
         发散二：假设中的复数本身的实部与虚部能否互换？到此，问题已充分支解，前途一片光明。
         三、提高观察，创新思维能力。