高中数学思想方法的教与学

       如：求证正四面体内任一点到各面距离之和为一定值。
        分析：平面几何中证明过正三角形内任一点到各边距离之和为定值，使用的最佳方法是面积法，类比联想，我们可用体积法进行试探，从而得到该点到正四面体各面距离之和为该正四面体的高。
        四、分类
        数学知识结构本身就是由不同层次的内容分类组成的，讨论数学问题时，不同范围内所得的结果往往是不同的。
        分类必须遵循：（1）同一问题过程中，分类标准必须一致；（2）分类不重复、不遗漏。 
        如：已知函数f（x）=（m+1）x2-2mx+m-2在x∈R的图像与x轴有交点，试求m的取值范围。
        分析：本题并未指出函数一定是二次函数，因而必须按照函数的次数分类讨论。
        当m+1=0，即m=-1时，函数为一次函数，显然图像与x轴有交点。
        当m+1≠0时，函数为二次函数，因而要求△=（-2m）2-4（m+1）（m-2）≥0，即m≥-2。
        综上所述，满足要求的m的取值范围是m≥-2。
        五、方程与函数
        方程与函数是可以相互转化的，以方程或方程组的解为坐标的点在函数图像上，反之亦成立。函数思想的最大特点就是从变化运动的观点来认识数学对象和它们性质之间的关系。如：解方程2x+1+x　x2+2+（x+1） x2+2x+3=0。
        分析：这个无理方程用平方法或换元法均不可取，可把方程变形为：x（1+　x2+2）+（x+1）（1+　（x+1）2+2）=0。
        构造函数f（x）=x（1+　x2+2），容易证明这是定义在R上的单调递增的奇函数。
        故方程可改写为：f（x）+f（x+1）=0，从而f（x+1）=-f（x）=f（-x），所以x+1=-x，即x=-0.5。
        六、数形结合
        数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，数缺形时少直观，形少数时难入微，数与形表示在互相转化和互相结合上。
        如：设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知：当x∈[2，3]时，f（x）=x。求：x∈[-2，0]时f（x）的解析式。
        分析：先画出x∈[2，3]时f（x）的图像，再由周期性可画出f（x）在[0，1]和[-2，-1]上的图像，再由偶函数图像的特征性质，可画出x∈[-3，-2]和x∈[-1，0]的图像（如上图）。由图像不难求出：
        （1）f（x）=3+（x+1），x∈[-2，-1]。
        （2）f（x）=3-（x+1），x∈[-1，0]。                                                因此，x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|。
        总之，思维状况不同，思想方法便有不同的方式，中学数学的教学与学习必须借助思想方法的教学才能有重大的突破。