探索勾股数

       若令n=1，m=2q（q为正整数）；则第二组数可转化为“2×2q，（2q）2-12，（2q）2+12”，化简得到：4q，4q2-1，4q2+1所以当n=1，m为偶数时，第三组数是第一组数的特例。
        这组数常用数据可以用下表表示： 
         
        显然，最短边为偶数时，勾股数有此规律，而且这些勾股数都是素勾股数。
        所以不小于3的自然数为勾股，必存在一组勾股数。素勾股数（不是所有的素勾股数）很多都可用上述列式找出，这亦可推论到，数学上存在无穷多的素勾股数。有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是20，它在以下两组勾股数之中出现了：20、21、29与20、99、101。
        在这里，我们发现了一些事实或规律：
        1.勾股数不可能是三个奇数，因为两个奇数的平方和不可能是第三个奇数的完全平方。比如（2m+1）2+（2n+1）2=4m2+4n2+4m+4n+2是偶数，所以直角三角形较短两边（边为整数）一定是一奇一偶。
        2.最短边为奇数2p+1时，最短边的平方等于另外两条边的和。
        设最短边为2p+1，则（2p+1）2=4p2+4p+1=2p（p+1）+[2p（p+1）+1]；
        即a2=b+c（a<b且a<c）。
        3.勾股数a、b、c，若a为质数，则2（a+b+1）与2c-1均为完全平方数。理由：勾股数a为质数，a必为奇数，可令a=2p+1，则b=2p2+2p，c=2p2+2p+1；
        ∴2（a+b+1）=2（2p+1+2p2+2p+1）=4（p+1）2；
        2c-1=2（2p2+2p+1）-1=4p2+4p+1=（2p+1）2。
        4.注意第一组数“2mn，m2-n2，m2+n2”中若m和n互质，而且m和n至少有一个是偶数，计算出来的a、b、c就是素勾股数（若m和n都是奇数，a、b、c就会全是偶数，不符合互质）。 
        通过这次的讨论发现，日常的一些定理和公理，经过对其深入钻研，会发现里面蕴涵的东西很丰富，对我们解题很有帮助。我们可以将类似的内容作为学生的课题性学习，开阔学生的思路，达到帮助教学的目的。
参考文献
1.于锋 趣谈勾股数。
2.彭云龙 勾股数的联想。　
3.数学发展史概述。