探索勾股数

摘　要：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整数，那么a、b、c称为勾股数。如果a、b、c 三者互质（它们的最大公因数是1），它们就称为素勾股数。勾股数中含有许多规律，我们对其进行了探索。
关键词：勾股数　素勾股数　奇数　偶数　质数
        如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整数，那么a、b、c称为勾股数。如果正整数a、b、 c是勾股数，那么易证它们的正整数倍数也是勾股数：∵a2+b2=c2，∴（na）2 +（nb）2 =n2a2+n2b2=n2（a2+b2）= n2c2=（nc）2,即正整数na、nb、nc也是勾股数。如果a,b, c三者互质（它们的最大公因数是1），它们就称为素勾股数。 
        其实这是生活在2500年前的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯在摆放小石子时发现的：当小石子的数目是l、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是l、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数……如图，在一些正方形数里（0当作石子），左上角第一个框内的数是正方形n2，；第二框内的正方形数是（n+1）2。 
        
        显然，（n+1）2-n2=2n+1。若2n+1是完全平方数，可设2n+1=w2，而它又是奇数，所以w必是奇数。再设w=2p+1,则：
        2n+1=（2p+1）2=4p2+4p+1,则n=2p2+2p=2p（p+1）,
        （n+1）2=［2p（p+1）+1］2，n2=［2p（p+1）］2。
        所以［2p（p+1）+1］2-［2p（p+1）］2=（2p+1）2，这组勾股数也叫毕达哥拉斯数。
        几百年后，希腊数学家丢番图（Diophontus，约250）发现了2mn、m2-n2、m2+n2这组勾股数，他在《算术》一书中论述了求解x2+y2=z2的一般解的问题。