兼容并包 兼收并蓄--三角函数的两种定义方法浅析

        "单位圆定义法"与"终边定义法"本质上是一致的，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分．三角函数的两种定义方法都是可行的，我们没必要非要分出孰优孰劣，我们大可以采取"兼容并包 兼收并蓄"的态度来提高对三角函数定义及三角函数的认识。从映射的角度来开展三角函数定义的教学，可以有效培养学生的逻辑思维能力。在具体的教学实践中它可以很好的帮助学生解决已知一个角的中边上的一点的坐标来求这个角的的三角函数值的问题，和理解参数方程。从这一点来看，利用角的终边上任意一点的坐标出发来定义三角函数更好一些。为什么要学习利用单位圆来定义三角函数？用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点，可以使抽象的问题变得直观，使学生能够深入浅出地理解三角函数的一些性质，主要体现以下方面。
        １、简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用"单位圆定义法"，对于任意角?，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角 （弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦；角 （弧度）对应于点P的横坐标x──余弦。可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的。另外，"x= cos ?，y= sin ?是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述"，其中，单位圆上点的坐标随着角?每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性。
        "终边定义法"需要经过"取点──求距离──求比值"等步骤，对应关系不够简洁；"比值"作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； "从角的集合到比值的集合"的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的"数集到数集"的对应关系不一致，而且"比值"需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；"比值"的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与"终边定义法"的这些问题不无关系。
        ２、有利于构建任意角的三角函数的知识结构。"单位圆定义法"以单位圆为载体，自变量?与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等。
        在学习弧度制时，学生对引进弧度制的必要性较难理解。
"单位圆定义法"可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了。另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点） 被缠绕到单位圆上的点P(cos ，sin )。