对勾股定理的考察探究

摘　要：勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理，是最基本的几何定理之一，一直以来是中考数学常见的考点。考察时常常以勾股圆方图以及其变化后的图形为背景，本文旨在对该问题做一个归纳探究。
关键词：勾股定理　勾股圆方图　归纳探究
        一、图形原型应用试题展示
         
        （图1）　　　　　　　　　　　（图2）
        1.如图1，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（　）。
        A. 2　5　　B.3　5　　C.5　　D.　5
        分析：此题对勾股圆方图稍加变化，可用面积割补进行解答，也可借助勾股圆方图的特征加以解决。选C。
        2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会，会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图2）。如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　）。
        A.13　　B.19　　C.25　　D.169
        分析：由勾股定理得a2+b2=13，由面积关系得(a-b)2=1，建立a、b的方程组，整理后可得（a+b）2=25。顾选C。
        二、图形拓展后的试题展示
        3. 如图3，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（　）。
        A.3∶4　　B.5∶8　　C.9∶16　　D. 1∶2
        分析：此题可用面积割补计算出两部分的面积再解答，也可借助“勾股图”的特征加以解决，还可以利用相似多边形的性质进行解答。选B。 
         
        （图3）　　　　　　（图4）　　　　　　（图5）
        4. 如图4，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于_____cm，四边形EFGH的面积等于_____cm。
        分析：可用直角三角形的性质解决，可借助“勾股图”的特征加以解决，也可以利用相似多边形的性质进行解答。填入：8　2；8。
        5. 如图5，把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得四边形A1B1C1D1。请问：怎样剪才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下的面积为原来正方形面积的　？请说明理由。
        分析：此题与上题都是以“勾股图”为背景设计而来。假设四边形为满足要求的正方形，由对称性可得图中4个直角三角形全等，且每个面积为　=　AA1·AD1,即AA1·AD1=　。再由已知AA1+AD1=1，从中求出AA1和AD1的长。此题是以勾股圆方图的拓展图形为背景的操作、探究、计算问题，常用方程思想解决问题。