数轴与平面直角坐标系：学生研究数形问题的重要工具

  摘要：数轴与坐标系是学习数学的重要工具。教师要重视数轴与坐标系的作用，培养学生运用数轴及坐标系的思想意识，从而帮助学生快速解决数学问题。
    关键词：数轴与坐标系；数学教学；工具
    作者简介：施忠心，任教于江苏省启东市民主中学。
　　在数学教学过程中，教师要重视坐标系的工具作用，为发现问题、探索规律、解决问题提供有效的研究工具，培养学生运用数轴及坐标系的思想意识。所以，教师在教学过程中应该致力于以下几方面的渗透：
　　一、利用生产生活实践知识，让学生共同了解数轴及坐标系的实际应用，激发学生的学习热情
　　在新课标教材中，提供了相关模型，展示数轴和坐标系的实际应用，但是所提供的信息量还是不够多。比如：人教版七年级上册P10《数轴》仅提供了两个相关例题，表示汽车站的东西方位及温度的正负数表示方法，大量的例题及练习还是比较老套，假如能围绕生活实际问题，将例题设计成教学软件向学生展示，如：“加油站的油位指示仪表，地理中海拔高度，液压器的铭牌，楼层的地下室”等问题，让学生去描点，比较高低，找出两点间的距离公式，顺势得出，不再生搬硬套。
二、利用数轴或坐标系对数进行分类研讨，培养学生自觉运用数轴的观念
　　1.数轴应用中，如果利用数轴或坐标系展示数的分类，研讨内部联系是十分直观的，学生易于接受比较抽象的数学概念。例如：比较倒数a与1/a，画出数轴(如下图)帮助学生理解分类讨论：

　  这样教学既形象直观，又可以让学生在七年级就学会了研究方法，到了八年级、九年级学习有关数的概念、函数的单调区间问题，学生就有了类比的方法，如学习幂的性质，比较a2=a, 开平方运算a与的大小等问题比较抽象，有了工具就变得形象直观、便于理解。
　　2.在研究综合应用题时，用数轴表示范围。例如：缴纳工资所得税问题。例题：***省对企业职工缴纳工资所得税，做出如下规定：

　   (注：以上工资税率采用分段累进纳税)
　　假如：改用数轴表示该工资所得税纳税表达式(如下图)：

　  再如，甲，乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店购买累计50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商品能获得更大的优惠？我们在教学时用下图列式，设购买金额为X元(如下图)：

　  教学该例题时，首先用数轴描述优惠价格相应的金额表达式，提示学生要比较哪个更优惠，必须分类讨论：分为几种情况讨论，引导学生用不等式解决“x取值范围”。得出结论后，再次用数轴描述(如下图)：

　  通过直观图像，学生受到启发，学会用分类讨论，学会全面慎重的思考问题。
　　3.利用坐标系描写实际问题，在函数关系应用中比较广泛，即使在学习的初期阶段，也可以用坐标系来尝试训练学生的读图理解能力。
　　例如：某电影院的一天票房利润Y元与售出的票数X张有如下关系(如图)，(假设每张票价是一样的)同时，公安部门有规定，人数超过150人后，需缴纳50元的消防安全费。