测度论中的存在性及唯一性

　　关键词:λ-系;σ-代数;概率测度;延拓

　　论文摘要: 测度论是数学的一个重要分支，在概率统计、随机过程、微分方程、微分几何中有广泛应用。测度理论是实变函数论的基础。集类知识与单调类定理是测度论中的基础，特别是单调类定理.这个定理是一个很要紧的定理.在后面证明测度唯一性定理，乘积测度存在定理等重要的定理中有涉及。在严加安老师的《测度论讲义》上这个定理有两个版本，目前该书是对单调类方法应用的最多的。有一些看起来很难的问题，也许用这个定理会相当简单.将定义在一个λ族上的概率测度延拓为包含该λ族的一个σ上的概率测度,在许多重要场合,特别是在学中有着十分重要的意义.关于这种延拓的存在性、唯一性等,给测度论提出了一系列新的理论课题,本文试图对λ族上概率测度的延拓问题作一些初步探讨.

 族性质的引申：设为上的一族非负有界函数，我们用表示非负有界 可测函数全体，则下列二断言等价：

         第二步：令 2=    2    （*）

       则（a） 2    （b） 2是 族   （证法与上面（a）（b）类似略）

       从而 2且 2 2

 则  

  F是 类从而F使 代数

第四步：对有限个的下端运算封闭：

Proof：不妨设   （   中元素均非负有界）

       故 

往证：（a）   （b） 

Proof：（a）依第二步，                  

          第五步：要证从而 

            由 

           为可测，对 

            第六步：往证 

            设，则有界且   

            依的定义及第五步：