试论金融数学理论的发展及其应用

　　论文关键词：金融数学　理论发展　应用 
　　论文摘要：金融数学是一门新兴学科，是“金融高技术”的重要组成部分。金融数学的研究目标是利用数学在某些方面的优势，围绕金融市场存在的问题，通过建立模型模拟为实际金融部门提供较深入的技术分析咨询，从而解决金融行业实际运行中存在的问题。随着社会经济的发展，特别是金融在经济中的地位越来越重要，金融数学相关理论也得到突飞猛进的发展，为解决金融实践中的问题发挥日益重要的作用，本文将就金融数学的相关理论及现实应用进行论述。 
　　 
　　一、金融数学的定义 
　　 
　　金融数学或数学金融学亦或数理金融学都是由mathematicalfinance翻译而来，可以理解为是以数学为工具解决金融问题的学科。金融数学是通过建立适合金融行业具体实情的数学模型，编写一定的计算机软件，对理论研究结果进行仿真计算，对实际数据进行计量经济分析研究的一门应用学科。 
　　金融数学的最大特点是大量应用现代数学工具，特别是伴随着控制理论和随机过程的研究成果在金融领域中的创造性应用，金融数学——一门新兴的边缘学科应运而生，国际上也称数理金融(Mathe--matical Finance)。金融数学起源于金融问题的研究。随着金融市场的发展，金融学越来越与数学紧密相连，取得了突飞猛进的发展。 
　　广义来说，金融数学是指应用数学理论和方法，研究金融经济运行规律的一门新兴学科，狭义的来讲，金融数学的主要研究内容是关于在不确定多期条件下的证券组合选择和资产定价理论，而套利、最优和均衡则是这一理论中最重要的三个概念。 
　　金融数学从一些金融或者经济假设出发，用抽象的数学方法，建立金融机理的数学横型。金融数学的范围包括数学概念和方法(或者其他自然科学方法)在金融学、特别足在金融理论中的各种应用，应用的目的是用数学的语言来表达、推理和论证金融学原理。金融数学是金融学的一个分支，因此金融数学首先以金融理论为背景和基础，这倒并不意味着从事金融数学一定要受过金融方面的正规的学术性训练(这确实大有益处)。尽管金融学由于具有自己充足的特征而从经济学中独立出来，但它毕竟是作为经济学的应用分支学科发展起来的，因此金融数学也以经济原理和技术为基础和背景。由于金融还同会计学、财务学、税务理论等有密切的联系，金融数学还需要以会计原理、财务技术、税收理论等方面的知识为基础。 
　　金融数学的理论基础当然还包括现代数学理论和统计学理论，其首要环节是数学或统计建模，也就是从复杂的金融环境中筛选出关键因素以分辨出相关因素与无关因素，然后从一系列的假设条件出发，推导出各种关系，最后得到结论对作出对结论的解释。这种建模活动不仅非常有用而且极为重要，因为在金融中，假设中一个小的失误、一个错误的推导、一个有误的结论、或者一个对结论的错误解释甚至都会导致一次金融的灾难。此外，在金融数学的研究中计算机技术的应用也具有十分突出的位置。 
　　综上可见，金融数学是金融学、数学、统计学、经济学与计算机科学的交叉学科，属于应用科学层次。金融数学也是金融学继定性描述阶段以后的一个更高层次的数量化的分析性学科。 
　　 
　　二、现代金融数学理论的发展 
　　 
　　1　随机最优控制理论 
　　现代金融理论一个更值得重视的应用领域是解决带有随机性的问题，解决这个问题的重要手段是随机最优控制理论。随机最优控制是控制理论中在相当晚时期得到发展的。应用贝尔曼最优化原理，并用测度理论和泛函分析方法，是数学家们在本世纪60年代末和70年代初对于这一新的数学研究领域作出的重要贡献。金融学家们对于随机最优控制的理论方法的吸收是十分迅速的。70年代初开始出现了几篇经济学论文，其中有默顿(Merton)使用连续时间方法论述消费和资产组合的问题，有布罗克(Brock)和米尔曼(Mirman)在不确定情况下使用离散时间方法进行的经济最优增长问题。从此以后，随机最优控制方法应用到大多数的金融领域，在国内以彭实戈为代表的中青年学者对此也做出了卓越贡献。 
　　 
　　2　鞅理论 
　　现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在金融市场是有效的假定F，证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。由Karatzas和Shreve等人倡导的鞅方法直接把鞅理论引入到现代金融理论中，利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定价问题，得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律，而且可以提供一套有效的算法，求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题，从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导地位，但在国内还是一个空白。 
　　3　脉冲最优控制理论 
　　在证券投资决策问题中，大部分的研究假设交易速率是有界的和连续变化的，而实际上投资者的交易速率不是有界的，也不是频繁改变的。因此，用连续时间随机控制理论来研究，仅仅是一种近似，使得问题变得更容易处理，但是事实上往往与实际问题有较大的距离。因此，若用脉冲最优控制方法研究证券投资决策问题看似更为合适。 
　　 
　　4　微分对策理论 
　　现代金融理论的另一个值得注意的研究动向是运用微分对策方法研究期权定价问题和投资决策问题，目前取得了一定的成果。当金融市场不满足稳态假定或出现异常波动时，证券价格往往不服从几何布朗运动，这时用随机动态模型研究证券投资决策问题的方法无论从理论上，还是从实际上都存在着较大偏差。用微分对策方法研究金融决策问题可以放松这一假设，把不确定扰动假想成敌对的一方。针对最差情况加以优化，可以得到“鲁棒性”很强的投资策略。另外，求解微分对策的贝尔曼方程是一阶偏微分方程，比求解随机控制问题的二阶偏微分方程要简单得多。因此，运用微分对策方法研究金融问题具有广阔的应用前景，对重复对策、随机对策、多人对策理论在证券投资决策问题中的应用研究更加值得重视的研究课题。