微分学在微观经济学中的几处应用

摘 要：随着社会的发展，微分学与经济学的联系越来越多，本文介绍了导数在边际分析和需求弹性分析中的应用及Logistic模型在微观经济理论中的应用。
　　关键词：导数；边际分析；需求弹性；Logistic模型
　　随着科技与经济的发展，社会的不断进步，数学这门学科与各行各业的联系越来越密切。作为高等数学基础内容之一的微分学，它在经济领域中的应用日益广泛，也是经济工作者和决策者进行实践和研究的重要工具之一。在这里从导数的概念出发介绍了边际分析和需求弹性分析，然后介绍了Logistic模型在微观经济应用。
　　1导数的概念在微观经济学中的应用
　　导数的概念反映了因变量随自变量变化的快慢，把导数这一概念放到经济学中，就是边际函数的概念，在经济学中涉及到边际成本，边际效益，边际利润等。y=f（x）在x=x0处可导，该点的导数定义为，当△x=1时，即x0改变了一个单位，且△x=1相对与x0是一个很小的量时，近似得到f（x0+1）≈f（x0）+f '（x0），可以看到边际函数反映了一个经济变量变化一个单位后会引起另一个经济变量变化f '（x0）个单位。例如，已知总收益函数为R（Q），Q表示销售量，边际收益MR=R'（Q），在Q=Q0时，MR|Q=Q0=R'（Q0）表示当销售量为Q0 时，再销售一个单位的商品总收益会改变R'（Q0）个单位。
　　函数y=f（x）在x=x0处可导，函数值的相对该变量与自变量的相对该变量之比 ，称为f（x）从x0到x0+△x两点间的平均相对变化率，也称为两点间的弧弹性，当△x→0时， 的极限称为f（x）在x=x0处的相对变化率，也称为x=x0的点弹性，记为 。因为y=f（x）在x=x0处可导，且f '（x0）≠0，有
　　
　　当自变量变化1%时，因变量近似地变化了，从中可以看到，弹性反映一个变量随另一个变量变化的灵敏程度，它是微观经济学中一个重要的概念。
　　作为生产者在进行生产时他会考虑商品价格对消费者需求量的影响程度来判断当价格上涨或下跌时，总收益会增加还是减少来安排下一步的生产。例如商品的需求函数Q=Q（P），P为价格，Q表示消费者的需求量，因为Q=Q（P）是随价格P的单调递减函数，所以Q'（P）<0，习惯上需求价格弹性非负，因此定义需求价格弹性为，在这种情况下总收益R（P）=P·Q（P）随价格如何变化。
　　
　　当价格为P0时，若η|p=p0<1（低弹性），从上面两式中可以看出R '（P0）>0，价格上涨（下跌）1%时总收益也会随之增加（减少）（1-η|p=p0）%；若η|p=p0>1（高弹性），则R '（P0）<0，价格上涨（下跌）1%时总收益也会随之减少（增加）（η|p=p0-1）%；若η|p=p0=1（单位弹性），则R '（P0）=0，价格上涨（下跌）时总收益保持不变。
　　2Logistic模型在经济上的应用
　　微分方程在经济理论研究上经常用到，在这里只讨论Logistic方程在经济上的应用。Logistic方程描述了一种阻滞增长模型，是荷兰生物数学家Verhulst于19世纪中叶提出的。
　　
　　方程右端的因子rx体现了变量x随时间t增长的增长趋势，而因子 体现其他因素会对x增长的阻滞作用，显然x越大，前一个因子越大，后一个因子越小，而x的增长是两个因子共同作用的因子。用分离变量法求解得到
　　
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　　Logistic模型不仅能够大体上描述人口及物种数量的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如信息的传播、耐用消费品的销量、新产品的推广等。比如某种品牌的生活耐用品，t时刻总销售量为Q（t），由于该商品的性能很好，每件商品都是一个宣传品，所以t 时刻销售量的增长率与总销售量Q（t） 成正比，另外考虑到商品在市场中的容量N限制，销量的增长与尚未购买该商品的潜在购买量N-Q（t）也成正比，于是有
　　
　　解之得
　　
　　图1商品销售的Logistic曲线
　　从图1中可以看出，当Q（t）　　在微观经济学的研究中以及一些定量分析中应用到微分学的地方还有很多，它为经济研究工作者和决策者的具体工作提供了一定的指导，对促进社会进步和经济发展都起到了很多的推动作用。