北宋邵雍数学学派与几个无量纲常数诠释

摘要 传统象数学来源于对云雷纹等复杂现象长期的研究积累，是东方有机观的符号表述体系。北宋邵雍(公元1011-公元1077)数学学派在此基础上从研究系统演化的对称结构入手，推演出系统自相似倍周期自发演化普适理论即观物论。在这理论中我们找到了具有普适意义的几个无量纲物经验常数的统一解释，从而有希望成为沟通东西方两大思考体系的契机：

(1)通过与混沌理论对比初步研究，找到了与费根保姆常数相应的定义和取值。

(2)据现时宇宙的时空特性导出相应的测量模型和特征值137.03598822,此即精细结构常数的一种解释.

(3)据极早期宇宙时空特性导出相应的测量模型和特征值41.011268，此即SU(5)耦合常数的一种解释。

(4)在观物论关于太极图与宇宙的讨论中,表征能量、作用力等物象的阳仪最大相对值2.652886*10 39 ，表征时间、静态结构等物象的阴仪最大相对值为 6.6322*1039 ，此即狄拉克大数的一个解释。

关键词 云雷纹,观物论,倍周期,混沌,费根包姆常数,精细结构常数,SU(5)耦合常数,狄拉克大数

1 引言

从莱布尼兹时代开始，越来越多的迹象表明，东方有机自然观与自然前景密切相关。莱布尼兹、玻尔、汤川秀树、惠勒、普里高津、李约瑟等知名学者对此相当深入地研究和乐观评价。邵雍观物论作为领导中国学术界数百年的主要理论范式和东方有机自然观最成熟理论引起作者的注意，本文在 [1]的基础上，初步讨论了它与混沌理论、倍周期现象和费根包姆常数的内在联系。观物论讨论的是一个普适的系统自发演化问题，纯粹从对称美学等角度理论推衍出发，系统本身成为唯一的参照对象，拒绝以任何经验为出发支点。根据初步认识，它只可能与没有隐含量纲的无量纲常数如精细结构常数、SU(5)耦合常数或只与绝对大系统（宇宙）有关无量纲常数如狄拉克大数直接联系。本文运用该理论成功地诠释了这些无量纲物理常数，这几个无量纲常数目前都是经验常数。

2云雷纹与观物论学术传统简述

云雷纹刻画的一般都是典型流场(图1)，必有细致的流场观察为基础。挖掘报告表明，早期的云雷比较繁杂，随着时间推移逐步简化。反映了逐步分析整理和抽象化过程。大汶口文化出土的象牙梳子上的云雷纹是一个对称的、理想化的流形并有对称标志“⊥”代表一种与中国传统象数学一脉相承的理论思考。象数学是中国传统意义上的物理学，认为形而上的抽象对称关系反映了事物的本质，是事物存在的普遍模式。北宋邵雍数学学派达到理论的高点，从自然抽象对称分析出发导出一套处理自然系统自发演化问题的一般理论,称为先天学，认为任何事物都是以“一分为二、二分为四、……”模式呈树状演化的，从任一个起点开始的演化树都有相同结构；同时明确地讨论了理论的普适性（先天性）问题，即两个超越：①.超越于任何具体物象，不以任何具体事物为理论存在为前提；②.其次必须完全超越研究者的主观干扰。他把符合先天概念，根据“一分为二、二分为四……”“直至无穷”的模式“自然而然、容不得、亦不必、也不曾有半点人为”的自发演化生成序（即先天卦序，图2）定义为理数或内数，以区别于“指定一物不变者” [2]的外数。理数是先天学的主要研究对象，所以先天学通常称数学。根据该学派“以物观物，性也；以我观物，情也。性公而明，情偏而暗。” [2]的学术主张和研究意趣，上又称为物理，本文为避免混淆，称之为观物论。

观物论中了一套鲜为人知的复杂而深奥的自然哲学和代数方法[2,3]，这里只介绍几个简单概念或结论。太极是一个自封闭概念,系统(太极)之外没有意义，系统演化动力和描述标尺均只能由系统本身内部关系中给出，以系统本身作为唯一参照点，定义为“一”,称为一元。

太极是不允许有主客分别的全同状态即“零”状态。此时“测量”的两大要素“观察者”与“对象”尚没有意义。在此基础上形成阳与阴的分化，或称“观察者”与“对象”的分化，此即“一生二”。 “一生二”的进程中有十二个侧重点不同的次周期,各为一元的1/12。

要描述一个选定对象的静态关系，必有五个要素，此即五行：选定对象称为“我”，“我” 的静态关系有且只有四类：“生我”类、“克我”类和“我生”类、“我克”类。

演化之初最弱，表现为受抑状态，即“克我”为主特征,其中有三种状态依次嬗变：

第一：激变阶段,“克我”要素增加速度（正）从最大渐渐减小到零。

第二：消化阶段，系统阻尼逐步增强，逐步取得平衡。

第三：平衡阶段，维持相对稳定的新平衡。

此时系统处于受制约的最底线，回复成为必然，帮助系统回复的要素“生我”自然成为主要特征。同样的，“生我”之因素穷尽时，系统处于自身发育之顶峰，不能继续再壮大了,膨胀性的“我生”成为主要特征。系统不能再继续膨胀时，已经控制了绝对主动，自然过渡到以主动抑制为主要特征的“我克”状态。“我克”状态的主动抑制之功已经穷尽之时，“一生二”的进程完成。

每个次周期（阴）中都蕴涵着次一级的分化动力(阳)，这就是“二生三”。

每个次周期中有三个阶段,每阶段演化动力必有五个方面要素：克我、生我、我、我生、我克。每个要素都必有阴阳两面：阴为静，为基本状况；阳为动，指变化趋势。合起来有30个基本要素,各要素代表

一个小周期，各为次周期的1/30。

上述两步骤组成一个基本演化节，交替循环，生化万物。此即“一生二、二生三、三生万物”的观物论阐释。从形式上可看成自发演化作用f的3-周期轨{一,二,三},因为f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1。

观物论认为系统演化中存在着有序与无序的对立统一，无序是有序的终始点：

一个标度表示则有两种状态：有序为阳，无序为阴。

两个标度表示则有四种状态：太阳、少阴、少阳表征有序，太阴表征无序。

无论几个标度描述，纯阴表示混沌，而其余则描述有序结构。纯阴前一状态为临界状态。

三个标度表示称为八经卦，是系统演化基本模型。其中临界状态为“艮”，失去了最后可分辨性(阳)则成为纯阴“坤”即混沌状态，进一步分化则回到全同状态，开始新的有序演化。

基本模型不涉及描述或测量问题，系统演化的描述模型由两个基本模型（一体一用）的耦合组成，有六个标度，称为64别卦。据此观物论对有序与混沌问题有深入讨论 [2,3]，下面是关于新旧系统之交分化数量级的概述，认为系统中个数的量级在10 ８０与10９６属于混沌状态，其中10８８称为一极，代表系统的极大个数，与宇宙中极大粒子数即光子数10 ８８相同：

“康节谓坤当无极之数者，自载之下八数当属坤，以应向尽之物；自极而下八数当属乾，以应方生之象。所以坤为归藏，乾知太始。” [3]

观物论中有97个数量级,即一、十、百、千、万、万万为亿、万万亿为兆、万万兆为京、万万京为垓、万万垓为秭、万万秭为壤、万万壤为沟、万万沟为涧、万万涧为正、万万正为载、万万载为极、万万极为一。 [3]

“一载”等于10８０，“八数”是指八个数量级，“自载之下八数当属坤，以应向尽之物”是指当系统中分离个体数量在10 ８０与10８７之间时，属趋于消亡的旧系统周期中的无序态，10 ８８称为“一极”，为新旧交接点。“自极而下八数当属乾，以应方生之象”是指当系统中分离个体数量在10 ８８与10９５之间时已发生了质变，属于新系统孕育之初的无序态，达到“万万极”即10 ９６时极异等于全同，为新系统的正式起点。

3观物论与现代混沌理论对比初步研究

现代混沌学研究正处于利用现代化条件对云雷纹现象进行大规模研究阶段，其中倍周期现象和费根保姆常数的发现意义尤为重大。通过数值模拟发现随着控制参数的变化，失稳的系统总存在“一分为二、二分为四……”的周期分化现象，即倍周期现象。观物论则认为大到宇宙、小至朝菌蟪蛄，均依照“一分为二、二分为四、 四分为八…”的倍周期自发演化。观物论是研究系统演化内在结构的普适理论，而费根包姆常数则通过极限过程淡化具体方程的干扰而获得普适性。

费根包姆常数为两个独立的无量纲标度常数δ和α。δ称为第一标度律，为相邻分岔点(临界点)控制参数微元Δμ(n+1)与Δμ(n)之比的极限,标定了在极限情况下临界点的规律。在分形图中，不管从哪个分岔点往后看，假如忽略宽度大小的不同，所得图象是完全一样的，都是一分为二、二分为四等，通过证明发现在极限情况下从相邻分岔点出发分形伞区宽度之比是一个常数，这就是第二标度律α.

δ=lim[Δμ(n)/Δμ(n+1)]

=lim{[μ(n)-μ(n-1)]/[μ(n+1)-μ(n)]}

=4.6692016091029 (1)

μ(n)为控制参数的第n个分岔临界点

α=-lim{μ(n)分形伞区宽度/μ(n+1)分形伞区宽度}=2.502907876 (2)

根据观物论可知，一节分化单元由1/12和1/30组成, 两者之比的意义相当于这里的α.其中分化参数12称为阴数，30称为阳数。观物论认为“阴不足而阳有余”即阴数应略小于12而阳数略大于30，记之为y=12-0(12)和z=30+0(30)，这样我们可以得到与α相当的比例常数α1:

α1=[1/(12-0(12))]/[1/(30+0(30))]=2.5+0(2.5) (3)

由于直观意义相同,数值大小相当,不妨认为α1与α是同一的.

α1=α=2.502907876 (4)

观物论中三个标度表示的八经卦是系统演化的基本模型。临界状态“艮”代表尚有最基本的共性（阳）的可分辨终点。“坤”个性 (阴)占有全部表象特征，代表以不可分辨为特征的混沌状态。理论上的纯阴是绝对个性而绝对无共性，故完全不可知。但该描述本身代表着一种信息交流即阳，故与外界尚有最基本的可知性。在保持可知性前提下，全异的极点就变为全同，这就是下一个周期的初始点“乾”的状态。可见“艮”卦是系统由可辨到不可辨的转折点，与分岔临界点的直观意义相同。

以乾为1,有序分化到“艮”时基本单元为:

g=(1/1)*(1/y)*(1/z)*(1/y)*(1/z)*(1/y)*(1/z) (5)

根据上面说明,“乾”与上一个分化周期存在继承关系,假定大小等于上一个周期的最小可辨值即临界点“艮”的值.因此相邻两个临界点相对值之比G相当第一标度律。

G=g-1/g 其中g-1=1 (6)

则有 G=1*y*z*y*z*y*z＝(4.6656+0(4.6656))*107 (7)

由于观物理论只管结构相对不变,尺度允许同时缩小10倍。

于是有4.6692016091029＝4.6656+0(4.6656) （8）

联立方程 解得

12-0(12)＝11.9945696863119　　　　　　　　　　　　　　　(9) 　

30+0(30)＝30.0213029371010　　　　　　　　　　　　　　　(10) 　　

观物论认为阳的作用使系统趋于变化，而阴的贡献使系统趋于稳定。系统演化是两者共同作用的结果。根据观物论“不齐,所以为变化”的观点，对严格对称性(周期性)的偏离是引发变化的“机”(导火线)。这里微元0(x)就是对严格周期x的偏离。鉴于观物论对“变”与“化”、“变数”与“化数”作了专门的定义，前者为演化动力和演化动力张量，后者为演化阻尼和阻尼张量，均为基本概念，参照机发论 [4]的概念引入以下定义：

变机: b=0(30)/30=0.0007100979030 (11)

化机: h=0(12)/12=0.0004525261407 (12)

道机: d＝b-h=0.0002575717623 (13)

理数即先天易是专门定义的抽象数[1]，用以表征演化的内在秩序或禀性，属于序数体系，是严格的二进位制序数，必要时可以按两种方式换算为十进制形式。阳表示与初始状态或上一状态相同，相当共性与继承，阴则相当个性与分化。古籍中通常按以阳为0,以阴为1的方式转换为十进制序数,表示从原始状态（太极）出发的演化程度。我们将这种转换称为求模量。理数的起点“一”，为太极状态即全同状态。因此古籍所常用的求模量通用公式如下：

记阳为y,记阴为n,初爻居左为高位,记理数a1a2a 3...an相应的模量为L(a1a2a 3...an),ai? {y,n}

L(a1a2a3...an)= 1+(a1a2a3...an)2 (14)

序数N中每个单位均是变机b与化机h平衡的结果,同时,还存在一个表征可以进一步发展的变机b,因此修正项为N1=N*d+b,其中 N=1+(a1a2a3...an)2,这样有:

L(a1a2a3...an)=N+N*d+b=N+N*(b-h)+b (15)

_ 进一步,微元演化之中变机b与化机h平衡的进程应是先膨胀(1+b)，再紧缩(1-h),因此 L(a1a2a3...an)=N+N*d+b=N*(1+b)*(1-h)+b,假如用c=[(1+b)*(1-h)-1]+b进行高次修正，则

L(a1a2a3...an)=N+N1(1+c+c2+c3...)=N+N1/(1-C) (16)

其中 N1=N*((1+b)*(1-h)-1)+b N=1+(a1a2a3...an)2

4 观物论与几个无量纲物理常数

本节讨论几个无量纲经验常数即精细结构常数、SU(5)耦合常数和狄拉克大数在观物论中的诠释。

4.1 精细结构常数

显然，现时宇宙有如下时空公理[1]：

①时间公理：时间一维且处处不可逆；

②空间公理：空间三维且处处可逆；

③时空关系假设：时间是空间有意义的前提，任一时间点都包涵空间全部；

此外还有如下测量公理：

④测量意味着观察系与对象系的分化，任何测量都是观察系作用于对象系的结果。

精细结构常数只能与现时时空（包括测量）特性有关，这里利用观物论方法分析上述公理，可得出相应的测量模型，显然该模型与精细结构常数相关。

根据公理①，时间处处不可逆，属于阴的特性，用一个阴爻来表示其特征。

根据公理②，空间处处可逆，属于阳的特性，用三个阳爻来表示其特征。

根据公理③，时空概念中时间更为基本，空间是时间的展开形式，因此时空的特征模型是一个阴爻居高位表其根本而三个阳爻居低位。三维本是平权的，但你要对它们进行表达，总得人为指定一、二、三来，这就是对称破缺的概念。时空特征理数模型是最高位即第四位为阴，一、二、三位各为阳，即“阴阳阳阳”我们把阴爻记如n，阳爻记如y，此即nyyy。

根据测量公理④，任何测量结果都是对象在特定观察系中的投射,只有穷尽所有观察系才能得到对象的完备信息。测量就是对象与特定观察系的耦合形式，其特征模型是二者的耦合,其中对象系模型为基础置于高位而观察系模型为工具置于低位。

观察系与对象系都是现时宇宙，两者耦合的测量模型为“阴阳阳阳阴阳阳阳”即nyyynyyy。

利用求模量公式可得相应的测量特征常数，可得

依(14)有：L(nyyynyyy)=1+(10001000)2 =137 (17)

依简单修正公式(15)有: L(nyyynyyy)=137+0(137)=137.03599743 (18)

依高次修正公式(16)有: L(nyyynyyy)=137+0(137)=137.03598821925 (19)

显然，L(nyyynyyy)就是精细结构常数。

4.2 SU(5)耦合常数

在上述四个公理中，将对象系的空间模型改为一维，观察系不变。则有对象系的测量模型为“阴阳阴阳阳阳”即nynyyy, 显然该模型与相应的耦合常数即大统一理论SU(5)耦合常数（1/0.0243）相关。

利用求模量公式可得相应的测量特征常数，可得

依(14)有：L(nynyyy)=1+(101000)2 =41 (20)

依(16)有： L(nynyyy)=41＋0(41)＝41.01126826566 (21)

从空间一维高能简并态的极早期宇宙时空公理中可得出SU(5)耦合常数。

假如观察系也是空间一维(显然是不现实的)，则相应的测量模型为“阴阳阴阳”即nyny, 相应的耦合常数L(nyny)=11.0033。

4.3 狄拉克大数

太极图是观物论的核心，玻尔认为是互补原理的最佳图示[5](图3)。图4是太极图的离散形式，作者发现用它可以简单地诠释狄拉克大数。外圆代表系统的运化消长,左边32卦为阳仪描述空间、能量、共性等属于阳类物象或规律，右边32卦为阴仪描述时间、结构、分立性等属于阴类物象或规律。这种分工与大脑相类，左脑管时间、结构等属于阴类物象而右脑则管空间、能量、共性等属于阳类物象。

在观物论关于太极图中“乾”“坤”“复”“gou(女后）”与宇宙的讨论中，阳仪从“乾”到“复”、阴仪从“坤”至“gou(女后）”，各32卦。“乾坤”称为大父母，“复gou(女后）”称小父母。

以阳为讨论对象则以"乾"为元,记为一,从"乾"分化到阳仪之终"复",其基本阳单元大小为:

(1/1)*(1/12)*(1/30)*(1/12)*(1/30)*.....=12-16*30-15=3.76948*10 -40 （22）

“乾”为阳的整体,“复”为其中最小量化单位,两者之比为:

ymax=1/(12-16*30-15)=2.652886*1039 (23)

考虑对12和30的修正，则 ymax=2.66193719*1039 (24)

以阴为讨论对象则以"坤"为元,记为一,从"坤"分化到阴仪之终"gou(女后）",其基本阴单元大小为:

(1/1)*(1/30)*(1/12)*(1/30)*(1/12)*....=12-15*30-16=1.50779*10 -40 (25)

“坤”为阴的全体,“gou(女后）”为其中最小单位量,两者之比为:

nmax=1/(12-15*30-16)=6.6322*1039 (26)

考虑对12和30的修正，则 nmax=6.66258357*1039 (27)

狄拉克根据一些物理常数的无量纲组合具有1039相同数量级的事实假设貌似毫不相关的物理常数之间存在着简单关系。即与核子间的电磁作用与引力作用之强度之比为

e2/(Gmemp)=2.53*1039 (28)

作用力问题由阳仪描述,e-p系统中,电磁作用相当作用的全部而引力作用相当最小作用单元,因此, 式（24）可以很好地解释e-p作用力比现象。

宇宙年龄 H0-1与原子单位时e2/(mec3)之比为

H0-1/[e2/(mec3)]=7*1039 (29)

时间是典型的阴类物象,由阴仪描述。显然宇宙年龄与原子单位之比符合nmax的定义。

可见，根据观物论的讨论，我们可以对狄拉克大数作出很方便的说明。

文 献

[1]柯资能.邵雍数学学派思想初探：[硕士学位].合肥：科学技术大学,1994

[2]邵雍(北宋).观物篇(四库全书 803册).上海:上海古籍出版社,1999,291-1088

[3]张行成(南宋).易通变(四库全书 804册).上海:上海古籍出版社,1990,200-717

[4]李志超.天人古义.河南:河南出版社,1995:61-73

[5]束景南.中华太极图与太极文化.苏州:苏州大学出版社,1994:56-74

Bei Song Shaoyong Maths School and the annotation of some no-dimensional constants

Ke Zineng

(Division of Teaching affairs USTC)

Abstract Chinese traditional Xiangshuxue(象数学), which rooted in the accumulation of timeless investigation into the complex phenomena such as Cloudscape (云雷纹),is a symbol system of Oriental organic nature philosophy. Base on the theory, Bei Song(北宋) Shaoyong(邵雍 A.D 1011-A.D.1077) Maths School started with symmetry of nature system and brought forward a universal theory about nature system spontaneous self-similar period-doubling evolution named as Guangwulun(观物论).The article find some internal relation between the universal theory and Chaos and successfully explain several important no-dimensional experience constants such as Feigenbaum’s constants, Reciprocal of fine-structure constant, SU(5) coupling constant, Diracal constants through primary study. And all this maybe a hint of amalgamation of the traditional nature thoughts between Orient and Occident:

 
Find out definition of Feigenbaum’s constants in Guangwulun.
Base on the space-time characteristic of now-cosmos draw out its measure model and eigenvalue 137.03598822, so give a explanation to Reciprocal of fine-structure constant.
Base on the space-time characteristic of exltra early stage cosmos draw out its measure model and eigenvalue 41.0112683, so give a explanation to SU(5) coupling constant.
4. In the discussion of cosmos base on Fig of Taiji(太极图) of Guangwulun, the maximum relative value of Yangyi(阳仪) which is symbol for Dynamic object or conception such as energy, action force etc, is 2.652886*1039 . The maximum relative value of Yinyi(阴仪) which is symbol for Static object or conception such as time, structure etc, is 6.6322*1039.So give a explanation to Diracal constants 1039.

Key word Cloudscape, Guangwulun, Chaos, Period-doubling, Feigenbaum’s constant, Reciprocal of fine-structure constant, SU(5) coupling constant, Diracal constant.