从一个土豆大小谈起

        这是一堂数学复习课。同学们根据复习内容——立体图形的体积计算，早把学具一一作了准备。有的拿来了长方体的铁盒，有的拿来了正方体的纸盒，有的拿来了圆柱形的铁桶，有的拿来了圆锥形的量杯……谁知老 师却提来半桶水和一包细砂土，还带来一架称重量的天平，弄得同学们“丈二和尚摸不头脑”，纷纷议论“老 师要干什么呀？”“是不是换复习内容了？”……这时，老师从兜里拿出一个土豆儿，高高举起来，说：“今 天咱们复习立体图形的体积计算，看谁能用学过的知识，计算出土豆儿的体积？”说着，神秘地看了看大家。顿时，教室里静了下来。谁都知道，我们虽然学过正方体、长方体和圆柱体、圆锥体的体积计算，但是土 豆儿，方不方、圆不圆，凸凸凹凹，是个不规则的形体，那怎么计算它的体积呢？大家你看看我，我看看你， 一时，谁也不知怎么办？
        正当同学们困惑不解的时候，老师拿起土豆儿，“咚”的一声，将它放入长方体的铁罐内，然后微笑着， 用期待的目光看着同学们。
        “老师，我想出办法了！”小昆兴冲冲地走上讲台，他先用尺子从里面量出长方体铁罐的长（a）、宽（b ）和高（h[,1]）， 然后将土豆儿放入罐内，并用细砂把铁罐填满。他怕砂子表面不平，还用尺子沿罐边将砂 面刮平。
        这时，有人插话：“要是知道砂子的体积，土豆儿的体积就等于铁罐的容积减去砂子的体积。”
        小昆看了看插话的同学，继续有条不紊地操作。他小心翼翼地将土豆儿从罐内取出，唯恐带出砂子，接着 再用小三角板将罐内的砂面刮平，并测出砂面的高度（h[,2]）， 然后对大家说：“罐内砂面的高度由h[,1] 降 到h[,2]，就是因为取出土豆儿的缘故，所以，土豆儿的体积可以这样计算。”说着，就在黑板上板书起来。
        土豆儿体积＝长方体铁罐容积－铁罐内砂子体积＝ V[,1] － V[,2] ＝abh[,1] － abh[,2]“其实，小昆的计算方法可以改进”。还是刚才插话的那位同学，指着小昆的板书说：“abh[,1] － abh[,2]，就是ab（h[,1] － h[,2]），也就是说，土豆儿的体积只要用铁罐的底面积乘以砂面的高度差就可以了。”
        “砂子面的高度差就是从罐内取出土豆儿后，砂面下降的高度，所以，计算土豆儿的体积，只要用长方体 铁罐的底面积乘以砂面下降的高度就可以了。你们看——”大为同学不仅进一步改进了计算方法，而且还在黑 板上画出示意图。土豆儿体积＝长方体铁罐的底面积× 砂面下降的高度V ＝ abh[,3]
这时，教室里的气氛热烈起来了。
        “要是铁罐不漏水的话，用水代替砂子，照小昆的方法，也可以计算出土豆儿的体积。”
        “用小昆的方法，如果用正方体的容器，也可以计算土豆儿的体积。”（见图）土豆儿的体积＝正方体容器的底面积× 砂（水）面下降的的高度V ＝ a[2]h“只要容器的容积大于土豆儿的体积，都可以用上面的方法。你们看，我用这个铁盒也照样可以。”二刚 说着，高高地举起他带来的口小底大的铁皮盒。这时，老师一边在黑板上画示意图，一边鼓励二刚：“可以。请你具体讲一讲。”“虽然这个容器的底儿是长方形，但是计算容积时，应该用它的横截面的面积，也就是梯形的面积乘以容 器的长。”说着，他干净利索地操作起来——放入土豆儿，填满砂子，刮平砂面，取出土豆儿，刮平盒内砂面 ，测量容器的横截面上底（a），下底（即砂面的宽度）（b），砂面下降的宽度（h），及容器的长（f）。
        然 后，板书计算方法：土豆儿体积＝横截面面积× 容器的长度V ＝ 1 ／ 2（a ＋ b）hf“测量横截面的面积，也可以用中位线乘以高。”又有人插话。“当然可以！”二刚指着容器内，取出土豆儿后，横截面上空出部分所呈现的梯形，胸有成竹地说，“只 要测出中位线（m）和高（h）就可以。”
        土豆儿体积＝砂面下降横截面面积× 容器的长V ＝ mhf“刚才，同学们都利用计算直棱柱体积的方法，巧妙地解决了土豆儿体积计算。大家想一想，还有别的 方法吗？”老师指着同学们带来的其它学具，启发大家。
        这次，小刚同学抢先发了言：“我利用圆柱形的有机玻璃桶，照样可以计算土豆儿体积。”
        “那你试试看。”老师说。小刚自信地走上讲台，开始操作：他把圆柱形的有机玻璃桶举到圆柱形的玻璃缸上方，用水将桶注满，然 后把土豆儿轻轻地、慢慢地放进桶里。这时，桶内的水沿着桶的边沿流入缸内，直到水滴停止。
接着他从里面 测量了玻璃缸的底面直径和缸内的水面高度，然后，在黑板上板书：
        土豆儿体积＝排出的水的体积＝玻璃缸的底面积× 流入缸内的水面高度
        V ＝ sh
        ＝ πr[2]h
        ＝ π（d ／ 2）[2]h