初中数学思想方法及其教学

        新课程教学大纲提出：初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的要领法规、公式、性质、公理、定理以及其内容所反映出来的数学思想和方法。数学思想、方法反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是学生形成良好的认知结构和纽带，是培养学生能力的桥梁。在数学教学中渗透数学思想、方法是全面提高初中数学教学质量的重要途径。
        一、初中数学思想和方法
        数学思想是研究和解决数学问题时的指导思想，是在对数学知识和方法的本质认识和概括的基础上形成的一般性观点。数学方法是指具有可操作性并能具体解决数学问题的方法，数学思想来源于数学方法，是数学方法的抽象和概括，反过来又指导数学方法的实施，而数学方法是数学思想的具体体现。
        （一）数学思想  
        初中数学中的数学思想很多，这里着重谈一谈转化思想、方程思想、数形结合思想及分类思想。
        1.转化思想  转化思想是指在研究和解决数学学问题时由一种教学对象转化为另一种数学对象时所采用的数学方法的指导思想。运用转化思想可以把生疏的新的问题转化成熟悉的旧的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把一般问题转化成特殊的问题，从而完成数与数的转化，形与形的转化，数与形的转化。数学中的构造法、代换法、换元法、配方法等也是体现转化思想的具体的数学方法，下面看两个例子：
        例1  已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于E，BD⊥CD。
        求证：CD=  BE。
         
        分析一：要证明CS=   BE，只须证明2CD=BE
        为此，需要延长CD，BA交于F点，只要证明DF=CD，△CFA≌△BEA。
        分析二：要证明CD=  BE，在BE上取中点G，只须证明CD=EG。
        为此，需要作GH⊥BE交BC于H，连结HE（如图2）。
        只要证明△CDE≌△EGH。
        分析三：要证明CD=   BE，取BE中点G，连接AG、AD（如图3）。
        只须证明，AG=AD=CD
        为此，只要证明A、B、C、D四点共圆，∠1=∠2=45°，∠3=∠4=22.5°
        说明，把证明线段的和、差、倍、分问题转化或证明两条线段相等的问题。
        例2  已知：如图4，P是正方形ABCD内一点，且PA:PB:PC=1:2:3。
        求证：∠APB=135°
        分析一：要证明，∠APB=135°=45°+90°
        为此，将△APB绕B点旋转90°，落到△CP’B的位置，只须证明∠BP’P=45°，∠PP’C=90°，
        只要证明BP’=BP=2X，PP’2+P’C2=9X2=PC2。
        分析二：要证明∠APB=135°，只须证明tg∠APB=-1，只质证明sin∠APB=-cos∠APB，为此，设PA=X，PB=2X，PC=3X，AB=BC=a
        只须证明，
        只要证明cos∠PBC=       ,sin∠ABP=cos∠PBC
        说明，分析一体现着把135°转化成两个特殊角（45°和90°），由旋转法完成数与形的转化。分析二体现着把求∠APB=135°问题转化成用正弦定理，余弦定理，同角或互为余角间的三角函数关系式来解决。 
         
        2.方程思想  方程思想是指利用方程或方程组解决数学问题的指导思想。在研究平面几何时，若所涉及到元素之间的关系，可考虑通过设辅助未知数并列出方程或方程组，使有关的几何量之间的关系显现出来，从而使所研究的问题比较简捷地加以解决。
        例3，已知：如图5，AB、CD分别切⊙O于A/D点，且AB∥DC，BC切⊙O于E。
        求证：OE≤   BC
        分析：要证明OE≤  BC
        只须证明   2OE≤BC
        只须证明   4OE2≤BC2
        只须证明   BC2-4OE2≥0 
         
        由已知    BE+CE=BC
        只要证明   BE•CE=OE2，那么BE、CE就是方程X2-BCX+OE2=0的二根。
        为此，连结OB、OC，只要证明∠BOC=90°。
        说明  由分析体现几何问题可以转化成一元二次方程及其根的判别式的性质问题，例2的分析二也体现了方程思想。
        3.数形结合思想  数形结合思想是通过数与形的结合来研究和解决数学问题的指导思想，数形结合思想是数学中运用最普遍的思想，它可以使抽象问题具体化、形象化，使几何的图形问题数量化，下面我们也看两上例题。
        例4  K为何值时，方程
        X2+2（K+3）X+2K+4=0的一个
        根小于3，而另一个根大于3。
        分析：为了求出K值，
        设y=x2+2(k+3)x+2k+4，并根据题意画出函数图象的草图（如图6），yx=3<0。