二次函数在高中阶段的应用

        在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图像以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
        一、进一步深入理解函数概念
        初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
        类型I：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)
        这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
        类型Ⅱ：设ƒ(x+1)=x2－4x+1,求ƒ(x)
        这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
        一般有两种方法：
        (1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
        ƒ(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2－6x+6
        (2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
        令t=x+1，则x=t-1  ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而ƒ(x)= x2－6x+6
        二、二次函数的单调性，最值与图像。
        在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性。
        类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性。
        （1）y=x2+2|x－1|－1
        （2）y=|x2－1|
        （3）= x2+2|x|－1
        这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像。
        类型Ⅳ设ƒ(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
        求：g(t)并画出 y=g(t)的图像
        解：ƒ(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2
        当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
        当t＞1时，g(t)=ƒ(t)=t2－2t－1