小学生视图能力的测试分析及其对几何课程设置的启示

摘要：小学几何课程如何培养学生的空间观念是备受关注的问题。利用“视图测试卷”，对2～6年级的405名小学生视图能力和水平进行测试，结果表明，对于2～4年级学习或接触过相关内容的小学生，视图的能力和水平不存在年级间显著差异，学习或接触过相关内容的低年级小学生对视图的理解水平大都接近甚至高于未学习过相关内容的高年级小学生；小学生在视图认识上不存在显著的性别差异；等等。此研究结果对小学数学课程的设置和教学提供了不少启示。

关键词：空间能力；小学数学；几何课程；视图

Abstract:How to develop student’s spatial sense by geometry curriculum is drawing more and more attention. We have designed the “Test of Orthogonal View” to make a survey on 405 pupils from grade 2 to 6 to test their ability and standards of orthogonal view. It is found that pupils from grade 2 to 4 who have learned or contacted orthogonal view don’t have instinct cognition differences between the grades. Pupils of lower grades who have learned or contacted orthogonal view performed as good as or even better than higher grade pupils who haven’t learned or contacted orthogonal view. Pupils don’t have instinct sex differences in cognition of orthogonal view. Based on the findings of this study, some suggestions for primary school teachers and curriculum setup have been made.

       Key words: space ability; primary mathematics; geometry ; orthogonal view

一、问题的提出

几何课程对学生空间能力的重要性已是不争的事实，然而，如何设置几何课程以发展学生的空间能力的研究却还有大量的工作要做。国际数学委员会（ICMI）的研究报告（1998）指出， ^［1］几何课程不能局限于平面部分，平面几何也不能局限于“微观空间”(指练习本和书本)。相反，特别在低年级，几何教学的起点必须是对我们所生活的现实三维空间的仔细观察，而且这种对三维空间的注意必须持续到高年级，并把焦点放在二维和三维空间的关系上，如我们眼中的物体与纸上的图形及机上的图形之间的关系。在课程中，除了度量性质外，还应该包括平面的仿射性质以及平面到平面的平行投影，当然，还可以考虑中心投影。

因此，注重联系“现实三维空间”，关注“二维和三维空间的关系”，成了一些国家几何课程中发展学生空间能力的出发点和着眼点。如果再考虑“投影”这一因素，那么很自然地想到“视图”。然而，可能对于大多数处于小学阶段的学生，与其对正投影概念进行严格定义和描述，不如用他们所具有的几何直观（视觉直观）的能力去感知三维世界，从而理解不同位置、不同角度观察到的物体形状会不同及为什么不同，识别和表示这些不同的形状，了解与这些形状相对的位置、角度，等等。因此，如果能够把这部分既与“三视图”有密切联系而又不同于其在几何上严格的定义且融合了更多现实空间成分的内容，以恰当的方式体现在小学的几何课程中，必将对学生的空间观念的培养起到积极的作用。这是目前数学课程建设与开发急需解决的问题。

心上虽然已有一些关于“视觉透视”等问题的研究，但大多是对特定群体针对个别具体问题的研究，而对不同年龄阶段的小学生关于“视图”内容的较为全面的认识水平的研究却没有。在数学教育领域，只是凭借经验以发展学生的视觉直观及空间观念为目的制定了一些课程和教学计划，同样对学生是如何认识的似乎都没有涉及。随着《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（下称《标准》）的颁布及推行，当前我国的小学课程中也安排了相应的教学内容。 ^［2］因此，本研究针对一部分小学生进行了测试，旨在寻求不同年龄、不同学校类型、对视图初步内容有着不同熟悉程度的小学生对视图初步有着怎样的认识，以及男女学生在性别上是否存在显著的认识差异，希望测试与分析的结果能对小学阶段的几何课程中相关内容的设计提供实验的基础。

二、研究方法

（一）被试的选取

本研究在北京市的一所城区小学（A）和一所郊区小学（B）中选取2~6年级的学生作为被试，在每个学校中，从各个年级随机抽取一个自然教学班，共405人。

表1  两所学校被试学生的一般信息

需要说明的是，A校的2～4年级的学生使用的是根据《标准》编写的北京师范大学出版社出版的教材，但5~6年级学生用的则是根据2000年的《小学数学教学大纲》编写的北京教育出版社出版的教材，没有学习或接触过视图方面的知识；B校2～6年级使用的也是根据2000年的《小学数学教学大纲》编写的北京教育出版社出版的教材，但据校方介绍，除了6年级，该校在2～5年级的教学中均讲了一些“从不同方向观察物体”的内容。

（二）研究方法与工具

我们设计了“视图测试卷”，采用个人独立答卷的方式进行。试题的设计主要根据曹才翰（1990）提出的空间观念的五个要求等， ^［3］分析了一些相关的研究及课程设置，从三个维度、三个方面设置问题来评价学生对视图的认识。三个维度分别为识图、读图和画图，对三个维度各有所侧重；三个方面是指从生活到生活、从生活到数学及从数学到数学。（例题见附录）

识图这类题目要求学生对呈现的空间或几何体识别它在不同方向或角度下的不同的视图；画图这类题目要求学生对呈现的空间或几何体画出指定方向或角度的视图；而读图这类题目则要求根据某个（些）方向或角度的视图建立起整个空间或几何体的结构。

对于三个方面，从生活到生活的题目要求学生从所处的生活空间出发，用“生活的”眼光来分析生活中的事物及它们之间的关系，认识到不同的视点对应着不同的视图。从生活到数学的题目要求学生从所处的生活空间出发，用“数学的”眼光分析生活中可以被模型化的事物，有一定的抽象。从数学到数学的题目要求学生从数学的几何图形出发，通过想象按要求抽象地分析图形的关系和特征，实现二维与三维图形间的转换。

题目设计过程中，征询了心理学专家和数学教育专家的意见，还参考了国际测试（如TIMSS）和其他一些研究中的试题，并抽取北京城区某小学的2年级20人、5年级30人共50名学生进行试测，最后确定了用于测试的29道题目，其中识图部分14道题，读图部分8道题，画图部分7道题。

正式施测是在2005年11月至12月间，由笔者亲自参与完成。整个测试卷的总分为55分。本测验的数据采用SPSS13.0统计软件包进行管理分析。

三、测试结果及分析

（一）信度分析

测试完毕，采用Cronbach’s Alpha系数法测得各部分（识图、读图和画图）及整个测验的信度，见表2。

表2  各维度和总测试的Cronbach’s Alpha系数

学者DeVellis(1991)认为，一份信度系数好的量表或问卷，最好在0.80以上，0.70至0.80之间还算是可以接受的范围；分量表最好在0.70以上，0.60至0.70之间可以接受。因此，本测验是可以接受的。

（二）测试结果及分析

1.年级间总体趋势分析

由于两个学校的2～4年级均学习或接触过视图初步内容，首先考察这三个年级视图认识水平的总体发展趋势，其总平均分的趋势如图1。

图1  2～4年级总平均分趋势图

从图形中能够看出，3年级成绩略好一些，但方差分析的结果表明，三个年级间不存在显著差异。因此我们可以认为从总体上来讲，这三个年级之间在视图部分的认知水平差异不大。

进一步对2～6年级总体成绩以及三个维度的成绩进行方差分析，我们发现，均存在显著差异。具体分析年级间出现的显著差异，其结果表明：在识图这个维度上，2、4、6年级分别与5年级存在显著差异，并且2年级的成绩好于4、6年级；在画图这个维度上，2、4、6年级分别与5年级存在显著差异；在读图这个维度上，2、4年级分别与5年级存在显著差异，6年级的成绩略好于2、3、4年级。除此之外，其他年级间不存在显著差异。

2.各学校学生年级间和性别差异分析

两个学校的总情况如图2，从图中我们可以直观地发现，除5年级外，A校的各年级好于B校的各年级，而B校的5年级是接触过视图内容的。

图2  两所学校2～6年级总平均分趋势图

为了进一步全面地考察小学生对视图初步认识在年级和性别上的差异，针对两所学校的不同情况，我们又以各个学校为单位，就测试总分进行了年级间方差分析和相邻年级间差异检验，也对性别的差异进行了分析。

A校和B校的各年级总成绩的方差分析结果都表明，该校的被试学生在理解上存在显著的年级差异；性别差异分析表明，男女学生之间差异不显著。

对两个学校分别做的年级间差异检验结果表明，两个学校中学过或接触过视图知识的年级对视图的认识达到比较高的水平，而对于没有学过的年级，则表现出来的水平比较一般。如A校，其2～4年级是学过的，与高年级相比，水平较高，尤其是3年级的成绩比较突出，但与2年级不存在显著差异，而与4、5年级间存在显著的差异，4～6年级之间保持相对稳定的状态，但都与2年级不存在显著差异，也即与2年级水平差不多；对于B校，2～5年级均接触过视图的知识，但学生的认识在2～4年级稳定发展，4～5年级是个快速发展的阶段且在5年级达到最高水平，出现与其他年级间的显著差异，但在6年级则又回复至与2～4年级相近的水平。