福利经济学第一基本定理的反例

    二百多年前, 亚当·斯密用“看不见的手”来形容一个中许多当事人各自独立地追求自我利益的行为非但没有造成混沌，反而实际产生了一个社会最优状态。建立在数学基础上的福利经济学第一、第二基本定理是这一深刻思想的形式，但这首先依赖于均衡的存在。本文以数理模型说明福利经济学第一基本定理不成立，这也意味着阿罗-德布鲁一般均衡模型(Arrow-Debreu Model)不完善。

一

    以下的经典数学结果依照阿罗、德布鲁五十年代的定义和证明, 本文只对表述方式作了一定的修改。
    商品空间R是l维Euclid空间。
    经济e = [ <Ｘi>, <≥i>, <Ｙj>, w ]
            i=1,2,3.....,n；j=1,2,3.....m
    是消费者i的消费集；是生产者j的生产集；≥i是消费者i的偏好关系；w是经济的总禀赋。满足：
    （1）Ｘi 凸，闭且下有界；
    （2）≥i连续，凸；
    （3）
    （4） 凸，闭；
    （5）
    （6）。 
     可行状态(,）满足:  且。
     帕累托效率（最优）状态（）是可行状态， 且不存在可行状态()满足有, 并有。
    瓦尔拉斯均衡（,p*）是私有制经济下的一个均衡，其中消费者i以股份θij拥有j，满足：
    （A）在i的预算集{}上使偏好≥i极大，
                                     其中。
     (B) 使j的利润极大；
     (C) ，是i的初始禀赋。
Arrow-Debreu一般均衡存在性定理：上述经济（条件（1）~（6）成立）中，如果任何一个消费者都没有充分满足的消费束，且在其消费集内部都有一个初始禀赋，那么上述定义的瓦尔拉斯均衡存在。
福利经济学第一基本定理：上述竞争均衡配置是帕累托效率的。
下面是一个说明福利经济学第一基本定理错误的模型。
    [模型S] 生产–交换经济e。
商品：x, y, z, v, w。
当事人：消费者A，B；厂商X，Y。
偏好：A的偏好函数
      B的偏好函数。
生产函数：X的生产函数（α） x1是投入；y1 ，z1是产出
          Y的生产函数（β）    v2是投入；y2 ，w2是产出  
初始禀赋: A，B各自完全拥有企业X ,Y。
A初始拥有xA =0.5, ,   B初始拥有vB =1。
以上的假设均满足Arrow-Debreu模型条件。记瓦尔拉斯均衡状态为“*” 。
论证：如果本模型存在瓦尔拉斯均衡，根据是否为0可分为以下两种情形：
(一)先设瓦尔拉斯均衡价格 ≠0。显然有

设模型的另一个状态为，并保持Y的生产和B的所得不变，则有

说明该状态优于瓦尔拉斯均衡状态*。
(二) 再设瓦尔拉斯均衡价格 =0，此时
，
因当事人均为“价格领受者”，=0意味着y不被生产，

设模型的另一个状态为 并保持X的生产和A的所得不变，则有

说明该状态优于瓦尔拉斯均衡状态*。
综合以上情况，说明本模型的瓦尔拉斯均衡状态*如果存在，其必定是非帕累托效率的。
[结论]在符合Arrow-Debreu Model标准假设的情况下，瓦尔拉斯均衡未必是帕累托效率的，即福利经济学第一基本定理不成立。或者Arrow-Debreu一般均衡存在性定理不成立。

二

    我们把上述论证翻译成关于一般均衡的ADM模型反例的一个寓言：
鲁宾逊A、鲁宾逊B分别生活于两个孤岛 A、B。
假定：
    （1）岛A上有1个单位的不可运输的生产性资源（x），如该岛上的土地
A掌握的技术，使他可以运用资源x生产面包（y）或黄油（z），其生产函数为;
A初始拥有1个单位的黄油（z）
对A而言，黄油和面包是补充品，A的效用函数为

（2）岛B 上有1个单位不可运输的生产性资源（v），如该岛上的土地。
B掌握的生产技术，使他可以运用资源v生产面包y或奶酪（w），其生产函数为;
    B初始拥有为0；
    对B而言，面包和奶酪是可替代的，其效用函数
    （3）产品的运输和交易是完全无成本的；
    （4）存在一个完全无成本并不谋求自身利益的定价者P。
该可以按照两种模式运行，即  
    （甲）“鲁宾逊模式”，即A、B各自以封闭的方式生产消费而不理会P所发布的价格。
    （乙）“瓦尔拉斯模式”，即A、B作为价格领受者，完全依据P的价格信号生产，并试图以交易改善自身的境况。
    显然, 依照（甲）, A最大化的满足是自己生产1单位的面包并与初始拥有1个单位黄油同时消费；B最大化的满足是自己生产1单位的面包。
    依照（乙），如果P发布的价格中面包的价格不为0，B将生产1单位的面包；A将生产少于1单位的面包，但其生产的一小部分黄油，却无法交换出去，A比模式（甲）的满足程度为低。“瓦尔拉斯模式”将劣于“鲁滨逊模式”。
    如果P发布的价格中面包的价格为0，A的满足同于模式（甲）；但B将生产1单位的奶酪，这时B的满足又将低于模式（甲）。
    这样，完全市场方式的“瓦尔拉斯模式”劣于“鲁宾逊模式”，经济退回至鲁宾逊的自足经济中。这当然也构成了对Arrow-Debreu模型的一个反例。
进一步的讨论集中于以下三个方面。
首先考虑模型S中消费者直接生产的问题。
    一种可能的批评认为：由于消费者分别完全拥有厂商，故厂商的生产决策由消费者直接作出。又由于该经济是自给自足经济，利润在这里失去了意义，所以消费者都应该在自己的禀赋及生产集约束下实现效用最大化。于是反例不再生效。
    事实上，根据Arrow-Debreu Model的标准假设，效用最大化和生产最大化是分离的，厂商和消费者一样是完全独立的当事人，它的行为不受所有者的直接控制，不论消费者是否完全拥有，他绝对不可能直接按自己的效用最大化来确定厂商的行为，厂商的行为必须也只能按利润最大化来决定。除非批评认为反例中的厂商是没有实际意义的虚设而加以取消。但这批评只需将模型S稍作变形便可化解。
    为更清楚地看到这一点，只要把原经济放大N倍，A和B各变成N个孪生兄弟（但不是复制经济，厂商仍只有两个），他们各拥有1/N的股份，其余不变。
[模型N] 生产–交换经济e。
商品；x, y, z, v, w。
当事人：消费者Ai，Bj, 其中 i,  j=1,2,…，N；厂商X，Y。
偏好：Ai的偏好函数
      Bj 的偏好函数。
生产函数：X的生产函数（α）x1是投入；y1 ，z1是产出
          Y的生产函数（β）v2是投入；y2 ，w2是产出  
初始禀赋: Ai，Bj 分别拥有企业X ,Y各1/ N的股份。
    每个Ai初始拥有xA =0.5N,  ,   Bj 初始拥有vB =1。
    论证同于模型S，反例依然有效。N＞1时厂商的生产决策必须服从利润最大化，特别是N极大时厂商的生产决策直接由消费者作出是极其荒谬的。
其次讨论模型假设的现实性。
    对于大多数把理论作为预言和解释工具的学者而言，假设的现实性不值得加以考虑。但在模型构造过程中，现实性的考虑有助于模型不被当成“畸型”的特例而排除掉。
    就本文的模型而论，两种商品成为补充品是普通的。一种商品为某消费者必需却被另一消费者视作无价值可以因为禁忌（如宗教原因禁食某类食品），也可以因为它尚未被接受。至于同时生产两种或两种以上不同的产品则几乎是古代一直到现在制造业的共性。
最后我们考虑凸性。
    在严格凸性要求下，本反例并不成立。寓言中补充品造成某种商品（y）价格为0。B作为价格领受者，依据价格信号生产并试图使自身的效用最大化的一种可能的设想是让w的价格为0，但这很容易造成价格系统的崩溃。可设想位于孤岛 C上的鲁宾逊C可利用岛上的资源v’生产w和w’: v’= w+w’,但C更偏好w’，这又使w’的价格为0。设定一串“岛链”后以此类推，价格体系则不再能成为指导生产和消费的信号系统。
三

    的核心无疑是一般均衡理论，它主要研究竞争性均衡的存在及其效率的特性。阿罗－德布鲁理论（Arrow-Debreu Model） 则在寻求其数学阐述方面取得了迄今为止最满意的进展，就形式的优美、表述的简洁、概念的普遍性和深刻性、方法的有效性及逻辑上的严谨而言，被誉为经济理论皇冠上的明珠。
    这个反映新古典主义最古老、最重要思想的现代均衡理论可以追溯到亚当·斯密，它在获得“边际革命”（特别是瓦尔拉斯）的推动和现代数学工具的有力帮助后迅速。整个学说发展史与一大批杰出的、富有才华的经济学家的名字联系在一起，一般均衡经济理论领域也肯定是最多获得诺贝尔经济学奖的领域。其二十世纪的主要贡献者，象萨缪尔森、希克斯、阿来、纳什、阿罗和德布鲁等都因此（或部分地因此）摘得诺贝尔奖的桂冠。
    由于Arrow-Debreu Model成功，西方主流经济学家，特别是几乎所有的数理经济学家已经接受了如下基本信条：
    在新古典的框架内（即新古典的假设范围内，指个人理性、完全竞争、新古典偏好和私有制、规模不经济等）可数学证明竞争均衡的存在、效率和活力。正如福利经济学第一、第二基本定理所表述的：瓦尔拉斯均衡状态与私有经济的帕累托效率（又称帕累托最优）状态一致。在恰当的形式化后，竞争均衡的存在和效率被演化为几个数学定理。瓦尔拉斯均衡的意义就在于：市场价格体系充当“看不见的手”实现最大的社会福利。
    本文构造的数理模型指出，福利经济学第一基本定理或者Arrow-Debreu一般均衡存在性定理的数学证明有错误，两个定理不能同时成立。这个结果显然对于微观经济学有很大的影响，它意味着Arrow-Debreu Model应当进行重大改造，而这种改造无疑会在一般均衡经济学领域中引发一场重大的理论革命。
 


[1] Arrow， K.: An Extension of the Basic Theorems of Classical Welfare Economics, 1951. In P. Newman, eds.: Readings in Mathematical Economics. Baltimore: Johns Hopkings.
[2] Arrow, K. and G. Debreu, “Existence of equilibrium for a competitive economy”, Econometrica, 1954，22, 265-290.
[3] Arrow, K. and F. Hahn: General Competitive Analysis. San Francisco: Holdon-Day 1971.  
[4] H. Varian: Microeconomic Analysis. New York: W. W. Norton & Company 1992.
[5]安德鲁.斯-科莱尔，迈尔. D.温斯顿, 杰里. R.格林，《微观经济学》，中译本。社会科学出版社，2000年。
[6]G.德布鲁，《价值理论》，中译本。北京经济学院出版社，1988年。
[7]J.伊特韦尔、M.米尔盖特、P.纽曼主编，《新帕尔格雷夫经济学大辞典》，中译本。经济科学出版社，1996年。