低波动率溢价条件下的备兑权证定价
关键词：波动率，备兑权证，衍生品定价
我国证券市场发育的阶段性特征和权证产品的相对简单性，决定了备兑权证的推出是我国资本市场进一步创新的客观需求。目前，各衍生品发行券商迟早要面临的一个基本问题是：在市场发育初期的高波动率溢价逐渐消失后，发行严格意义上的备兑权证时如何对其进行定价。Black 和Schole【1】在1973年提出著名的期权定价公式（以下简称BS模型）。但由于该公式的部分重要的假设，如标的股票的波动率为常数不符合市场实际状况，使其定价的精准性受到衍生品研究人员的极大批判。如Hull & White (1987)【2】假设波动率服从一定过程并推出基于一定数值解的期权定价模型（以下简称HW模型）。在实证研究中，Huang (2002) 利用权证市场数据以不同波动率模型计算的结果带入经典的BS模型和随机类定价模型进行实证分析，发现以随机类模型中的HW 模型带入随机波动率计算台湾权证价格的效果最好。在我国由券商发行的备兑权证还未产生之时，鉴于我国香港市场已经具有较为成熟的备兑权证市场，而投资者结构和大陆市场具有比较高的相似性，故本文主要用香港市场样本，通过样本内参数估计和样本外预测的方法检验了由模型以及波动率选择的不同造成的对备兑权证定价的影响。
定价模型及波动率模型简介
1.权证定价模型
(1)BS模型
Black 和Scholes于1973年提出了著名的无红利的欧式看涨股票期权定价公式：
其中，C为期权价格，S为当前股票市场价格，X为期权执行价格，σ为年化标的股票日对数收益率的标准差，τ=T-t为期权剩余存续期，r为无风险利率，N(·)为标准正态分布累积函数。
(2)HW模型
Hull & White (1987) 假设股票价格及其收益率的波动率服从以下过程：
其中，参数φ是S,σ,t的函数，参数μ,ξ是σ,t的函数，在HW模型中假设这些参数与S无关，且假设维纳过程变量dw,dz的相关系数Cov(dz,dw)=ρ为0。在风险中性的条件下，利用泰勒展开得到该微分方程的解为：
其余参数意义同BS模型中的参数。
2. 波动率模型
波动率是权证定价的关键变量。波动率的估计是期权类衍生产品实务和研究中的前言性问题。目前，国外学术与实务领域用于波动率拟合和预测的模型主要有: 波动率(Historical Volatility), GARCH模型, EGARCH模型、GJR模型和随机波动(SV)模型。
(1) 历史波动率(Historical Volatility)
20世纪70年代之前，经典的分析都假定波动率是恒定的，未详细考虑波动率随时间变化的情形。例如，在Markowitz的投资组合分析方法中，用回报率的方差作为风险度量，如果采用无偏估计量，计算公式如下:
其中，n为计算历史波动率的样本数（也称窗口大小）；Si为第t天的股票价格；T为一年的交易天数。
(2) GARCH模型
Bollerslev (1986)【3】提出了一种灵活的GARCH模型，它是最重要的一种Granger (1982) 提出的ARCH模型的拓展形式。GARCH(1,1) 模型假定方差依赖于被解释变量的过去值。其中包括3个简单的项，具体如下表示：
当期的方差依赖于三个因素，常数项β0，ARCH项ε2t-1：用前一期残差的平方表示（反映前一期的波动性），和前一期的预测波动率（即GARCH项）。GARCH模型己经能够较好地反映金融资产收益率序列的集群效应和自相关性。
(3) EGARCH模型
对GARCH模型的一种重要拓展是引入不对称性，即正负随机扰动对后续条件方差的影响是不对称的。在GARCH模型中，条件方差仅与前期随机扰动的平方ε2t-1相关，因此，前期随机扰动的正负变动对条件方差的影响是相同的。相反，就资产收益而言，实证检验表明前期收益率对波动率的影响是不对称的，当前期资产收益下降时，对波动率的影响较大，前期资产收益上升时，对波动率的影响较小(Black,1976,Christie,1982, Campbell, Hentschel, 1990)，这种现象也称为杠杆效应。为了反映这种效应，研究人员就在GARCH的基础上，发展出了一些能产生不对称效果的模型。
最著名的一种不对称模型是Nelson (1991)【4】提出的指数LARCH模型(EGARCH, Exponential LARCH)，它假定条件方差的对数是前期标准化残差和条件方差预测值的函数，具体为：
若β2≠0，则ln(ht)具有非对称性。由于进行了对数变换，所以确保方差不可能为负。最近一期的残差的影响是指数形式。
(4) GJR模型
GJR模型，即门限自回归条件异方差模型。它是Glosten、Jaganathan和Runkle【5】于1993年提出的。方差的模型是：
其中若εt<0,则dt=1；其他情况dt=0。
利好消息的影响系数为β2，而利坏消息的影响系数为β2+β2。若β3显著区别于0，那么就存在杠杆效应。用该模型预测时，假定残差的分布基本上是对称的，这样可以认为d在一半时间内为1，但不知道具体何时为1。这样，在预测中，可以设定d=0.5。
(5) SV模型
SV模型假定条件波动率σt遵循某种随机过程。它是在ARCH模型本身缺陷的基础上提出， Hull和White (1987) 应用该假设对BS期权定价模型进行修正。模型的简单描述为:
其中，S为股票价格，V为股票价格的波动。
研究设计
1.使用数据
由于供给失衡等原因，沪、深两市的权证市场目前尚处于高波动率溢价时期，故无法采用在这两个市场中的样本进行研究。鉴于许多中资公司以H股形式在香港上市，且香港的权证市场已经比较成熟，波动率溢价相对比较合理，故我们以香港联交所发布的国企指数为标的的权证为样本进行关于定价模型和波动率的研究。我们选择了2只香港国企指数权证作为样本，其基本信息如表1所示:
表1：标的为国企指数的两只权证基本信息
代码 | 数据开始 | 终止时间 | 到期日 | 认购比率 | 认购价/行使价 | 备注 |
9823 | 2006.8.8 | 2007.1.30 | 2007.2.27 | 2000 | 7688 | 欧式认购 |
9884 | 2006.12.19 | 2007.1.30 | 2007.9.27 | 4000 | 9600 | 欧式认购 |
在估计波动率模型参数时，我们选用2006年1月3日至2006年12月29日的国企指数收盘价作为样本内数据来估计不同波动率模型参数。再利用已估计的波动率模型带入不同的定价模型预测样本外（2007年1月2日至2007年1月30日）权证价格，并比较模型定价和实际价格的差异。
2. 使用模型
在权证定价模型中一个重要的变量就是股价波动率，本文在BS和HW定价模型的基础上分别使用了前面介绍的历史波动率（HV）以及用GARCH（1，1）、EGARCH（1，1）、GJR（1，1）、SV模型估计出来的波动率，进而对权证进行定价的模型可以归纳为以下这些：
表2：权证定价所涉及模型
权证价格模型 | BS_HV | BS_G | BS_E | BS_GJR | BS_SV | HW_G | HW_SV |
定价模型 | BS | BS | BS | BS | BS | HW | HW |
波动率模型 | HV | GARCH | EGARCH | GJR | SV | GARCH | SV |
为了反映权证模型价格与实际价格的接近程度，本文定义均方误差来表示模型定价的误差，均方误差：
。
其中：market_price，model_price分别表示权证的模型价格和市场价格，n表示样本数量。
模型结果及分析
一、国企指数描述性统计
本文选取2006年1月3日到2007年1月30日的国企指数日收盘价序列作为研究对象。其基本统计量见下表：
表3：国企指数日对数收益率序列的基本统计量分析（2006.1.4~2007.1.30）
均值 | 标准差 | 偏度 | 峰度 | Jarque-Bera | Q值（一阶） |
0.0022 | 0.0155 | -0.2103 | 5.1440 | 53.1075*** | 3.0991* |
国企指数日收益率的偏度为正值，超额峰度为2.144，JB正态检验的结果证实了国企指数的日收益率有尖峰厚尾特征。Q值在10%水平下显著，表明国企指数收益率一阶自相关显著，用GARCH（1，1）、EGARCH（1，1）、GJR（1，1）模型描述其条件波动率是合理的。
二、波动率估计
利用2006年1月3日至2006年12月29日的国企指数数据估计各波动率模型参数后得到国企指数的5种波动率见图1。
图1 国企指数各模型波动率图
从图1中看到，ARCH类模型估计结果非常类似，差别不大，但是它们一个共同的缺点就是有限的预测能力。从上面的图形可以看到，预测的时间越长效果越差。而且GJR模型预测的结果要高于GARCH模型和EGARCH模型。与此同时我们看随机波动模型的结果所体现的波幅最小，这是由波动率运动过程的随机假设决定的。,证券,股票-[飞诺网FENO.CN]
三、7种模型的估价结果
表4：9823国企指数权证模型定价均方误差 (10-3)
定价模型 | BS_G | BS_E | BS_GJR | BS_SV | BS_HV | HW_G | HW_SV |
总体RME | 9.69 | 9.38 | 10.21 | 0.65 | 13.14 | 0.64 | 0.64 |
样本内RME | 11.52 | 11.14 | 12.13 | 0.57 | 15.68 | 0.57 | 0.57 |
样本外RME | 1.00 | 1.00 | 1.05 | 1.01 | 1.01 | 1.01 | 1.01 |
表5：9884恒生指数权证模型定价均方误差(10-3)
定价模型 | BS_G | BS_E | BS_GJR | BS_SV | BS_HV | HW_G | HW_SV |
总体RME | 0.70 | 0.42 | 3.24 | 0.75 | 0.86 | 0.41 | 1.71 |
样本内RME | 2.47 | 1.47 | 3.45 | 0.14 | 2.46 | 1.46 | 2.29 |
样本外RME | 0.12 | 0.07 | 3.17 | 0.95 | 0.33 | 0.06 | 1.52 |
从表4-表5可以看到，BS_GJR模型和BS_HV模型定价较差，而且稳定性值得怀疑，说明用GJR模型或者30天的波动率来描述国企指数的波动率存在问题； HW_GARCH模型无论是样本内均方误差还是总体均方误差情况最好；随机波动率模型整体效果也很好，特别是9823计算的结果显示，随机波动率模型要大大好于其它模型，最大的区别就是权证发行初期，其它非随机波动率模型在预测价格的时候，结果都要较实际价格高。这直接导致了这些模型定价误差的扩大，但是在后期包括样本外区间内7个模型定价的效果都很好。从9823计算的结果还可以发现，HW模型效果要优于BS模型的定价效果，但是在计算9884的时候该优势不明显，原因可能是9884的数据较少。
50 ETF模拟权证分析
一、采用的数据及模型
在这部分假设1年有360天，其中有250个交易日，无风险利率取0.0252。我们分析所用的数据是50ETF日收盘价数据（2006.1.4-2007.1.30）。
由于我国没有关于ETF的权证，所以本文假设在2006年12月29日发行了一只标的为50ETF，到期日为2007年12月28日，执行价格为1元，行权比例1:1的欧式认购权证（下面简称为ETF权证）。
二、实证结果
1.考虑利用上面7种模型计算的ETF权证价格
图2 ETF权证的价格
注：横轴表示定价日，纵轴表示ETF权证价格。
在图2中，BS_E BS_G,BS_GJR,BS_HV,BS_SV,HW_G,HW_SV分别是用BS_EGARCH模型、BS_GARCH模型、BS_GJR模型、BS_HV模型、BS_SV模型对ETF权证定价的结果。从计算出的ETF权证价格中看到在这段时间内，7个模型计算价格均值和标准差见表9：
表6： ETF权证7种模型价格的均值和标准差
模型 | BS_G | BS_E | BS_GJR | BS_SV | BS_HV | HW_G | HW_SV |
均值 | 0.27 | 0.26 | 0.27 | 0.31 | 0.46 | 0.27 | 0.31 |
标准差 | 0.26 | 0.26 | 0.26 | 0.25 | 0.42 | 0.26 | 0.25 |
从上表可以得到以下结论：从均值来看，BS_HV模型计算的价格最高，BS_EGARCH模型计算的价格最低，其它模型结果类似；从标准差来看，除了BS_HV模型计算结果波动较大外，其它模型波动类似；BS_HV模型具有价格高，波动大的特点。
2.考虑ETF权证价格极差序列
极差序列是指用7种模型计算的每天最高价格减去最低价格，即当天极差价格。
图3 7种模型计算的ETF权证价格极差图
注：横轴表示定价日，纵轴表示ETF权证价格极差。
从图3可以看出，在ETF权证刚刚发行的时候，用上面7种模型计算的价格差别不达大，一段时间以后7种模型计算价格偏差逐渐变大并随着历史波动率模型价格的上升而变大，所以在ETF权证发行（上市）初期，上面7种模型都适合计算权证价格，而对于后期的走势用上面7种模型定价差别显著。
3.实证结论
考察7种模型计算的价格及其极差， 从均值来看，BS_HV模型计算的价格最高，BS_EGARCH模型计算的价格最低，其它模型结果类似； 从标准差来看，HW_HV模型计算结果波动较大外，其它模型波动类似；BS_HV模型具有价格高，波动大的特点；在ETF权证刚刚发行的时候，用上面7种模型计算的价格差别不大，一段时间以后7种模型计算价格偏差逐渐变大并随着历史波动率模型价格的上升而变大，所以在ETF权证发行（上市）初期，上面7种模型都适合计算权证价格，而对于后期的走势用上面7种模型定价差别显著。
关于备兑权证市场的建议
第一，严格备兑权证业务准入条件。由于目前证券公司所进行的“权证创设”由于其delta恒为1，严格地说，从技术层面分析这不叫做衍生品业务。而备兑权证为代表的衍生品业务从业务人员的知识结构、风控系统的要求等将大大高于创设业务。特别是奇异期权出现的情况下，对发行商的数量分析水平以及风险控制水平都将提出更高的要求。此外，在谨慎控制风险的情况下，证券公司能够有效管理风险的备兑权证发行的数量很大程度上取决于其净资本存量。这一点对在这种投机性还相对较强的新兴市场中靠衍生品风险管理进行盈利的发行商显得尤为重要。因此，在考虑发行商资格的时候，交易所需要仔细考察申请发行公司的衍生品部门风险管理水平（包括业务人员和备兑权证风险管理系统和做市系统）、部门和公司层面的风险控制（是否有和衍生品部同级别的部门对其风险进行总量控制、是否有公司层面的风险管理委员会或类似机构核定公司可承受该业务的风险在值大小等等）、公司的净资本以及信用等级等等。
第二，放松发行商风险管理监控。对于经过严格考核获得发行资格的证券公司，监管部门应该充分相信其风险管理能力而不应该对其风险管理活动进行过于明细的干涉。的权证市场发展经验显示，对发行商进行“保姆”式的管理最后受损的是市场参与者的效率和市场整体的效率；而与之相反，对于发行商的风险管理进行放任自由管理的香港市场，则经过十几年的发展成为全球最有活力和规模的备兑权证市场。鉴于中国的国情，笔者估计国内的备兑权证监管或多或少会参照台湾特色的监管（比如对冲的上下限的定时报告制度等），但是请制度制订者切记，监管者既没必要也没可能完全监管发行商的所有风险对冲手段。因此，应该给核准有发行资格的发行商尽可能多的风险管理的自由。
第三，大力发展市场配套对冲工具【6】。在海外市场，发行商能够有效管理备兑权证的风险是和所在市场的配套交易品种的齐全性紧密联系在一起的。如果没有场内、场外期权、结构性衍生品来对冲非线性风险、没有股指期货、融资融券等做空工具，那外资发行商照样可能赔钱（外资在韩国市场的经验已经证明了这一点）。因此，不能寄希望于发行商仅仅依靠正股对冲掉所有风险，监管者应该尽早研究和推出这一系列风险管理工具。只有这样，备兑权证业务才能发展成为一个健康、风险可控的业务。
第四，大力发展场外市场【7】。备兑权证业务的健康发展一方面需要一个立体的产品（风险对冲）体系，另一方面需要大力发展场外市场。从境外的经验来看，大部分外资券商衍生品业务的非线性风险对冲活动都是通过场外市场，主要是场外期权市场和结构性衍生品市场来完成的。而一定程度上，由于其灵活性而不必受到标准合约的限制，场外市场才是衍生品的主要市场。场内、场外市场相互影响和风险相互对冲才能有效保障风险的系统性稳定。目前我国缺乏一个有一定规模的场外衍生品市场必将制约场内以备兑权证为代表的眼生品种的良性发展。因此，大力发展场外市场显得尤为急迫。具体地说，是否可以在适当的时候让创新类券商、领先的保险公司、基金公司等成立一个电话和报价的场外期权、远期、掉期等市场？这是监管者需要考虑的重中之重。
第五，加快人才的培养和引进。人才的培养和引进有两个层面的内涵，分别是业务人才的培养和监管人才的培养。由于业务核心竞争力需求的特点，中国人在外资中主要为销售和市场人员，能够进入外资衍生品部门的金融工程岗位或者做交易的凤毛麟角，这客观上造成了可以引进的该业务的核心人力资源高度匮乏。在此种情况下，一方面需要本土人士通过多种渠道多积累和学习，另一方面监管者需要尽快让本土机构有在实战中学习的机会，具体地说，尽早颁布或者参与相关衍生品法规，如ISDA，从政策上鼓励中资金融机构发展有核心技术力的业务，通过监管机构之间的协调以及监管机构的组织创造一个有利于相关业务发展的市场环境，这些都是对本土人才培养的最好贡献。就第二个层面来说，监管机构需要意识到，结构性衍生品为代表的衍生品业务的性质和特点大大区别于现货的买卖，具有高度的精密性。引进具有相关工作经验的人士来担任相关监管岗位的工作对监管机构和被监管机构都是重大的利好。
：
【1】Black F, Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy, 1973,81:637-659.
【2】John Hull, Alan White. The Pricing of Options in Assets with Stochastic Volatilities. The Journal of Finance. 1987(2):281-299
【3】Bollerslev, T., 1986, “Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity,” Journal of Economics, 33, 307-327.
【4】Nelson, D., 1991, “Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach.” Econometrica, 59:2, 347-70.
【5】Glosten, L., R., R. Jagannathan, D. E. Runkle, 1993, “On The Relation Between the Expected Value and The Volatility of The Nominal Excess Return on Stock,” Journal of Finance, 48, 1779-1801.
【6】杨剑波, 2007, “不当城市农民？国内结构性衍生品市场的现状与隐忧”，《证券市场周刊》，总第1300期，2007年3月10日，51-52.
【7】杨剑波 柏延春， 2007，“结构性衍生品的监管，国内与国外”，工作.
