众里寻他——求解一类恒成立问题的通法

        充分挖掘隐藏在数学知识和数学思想方法中的人文价值，是每位数学教师义不容辞的责任。在求解恒成立问题中的参数取值时，通常采取等价转化的方法。但有时直接等价转化比较困难，这时采取的方法是：先确定参数所在范围——“众”，再从“众”里寻出参数的最终范围——“他”，同样也能达到等价转化的目的。这种求参数的方法， 称为“众里寻他”。下面就让我带你追寻“他”的行踪，一睹“他”的尊容。
        小隐于野
        例1：关于x的不等式ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立。求实数a的取值范围。
        分析：通常考虑通过分离常数，等价转化为求函数的最值或值域。但函数f（x）= 1n（1+x）/x（x>0）的最大值或值域不易求得，尝试用“众里寻他”法。
        解：ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立ln（1+x）-ax<0在（0，+∞）上恒成立。设h（x）=ln（1+x）-ax，则h′（x）=1/1+x-a。
        若a≥1，则x∈（0，+∞）时，h′（x）=1/1+x-a<0恒成立。
        ∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上为减函数，有ln（1+x）-ax<h（0）=0。
        即ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立。若a≤0显然不满足条件。
        若0<a<l，则h′（x）=1/1+x-a=0，x=1/a-1，∴x∈（0，1/a　-1）时h′（x）>0。
        ∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，1/a　-1）上为增函数.
        当x∈（0，1/a　-1）时，
        h（x）=ln（1+x）-ax>0不能使ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立。
        点评：本解法中，“R”即为“众”。先证明a≥1符合题意，实质上证明了充分性成立；再证明a≤0和0<a<1不符合题意，从而证明了a≥1也是必要条件。最终寻到了“他”。
        大隐于市
        例2（2010江苏高考，第20题）：设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数。其导函数f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）>0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）。
        （Ⅰ）设函数f（x）=ln（x）+　　（x>1），其中b为实数。
        （i）求证：函数f（x）具有性质P（b）。