指数平滑法数学模型的参数估计和预测

来源:岁月联盟 作者:沈健 李智明 艾克拜 时间:2010-07-12

【关键词】  数学模型;,,参数估计;,,预测;,,检验,,,,

  摘要:  建立二次指数平滑法数学模型,对模型中的参数进行了估计和检验且对模型进行了预测。

  关键词:  数学模型;  参数估计;  预测;  检验   

  1  二次指数平滑法的定义及分布

  11  一次指数平滑法的定义

  设X1,X2,…,Xn为时间t的观察值(t=1,2,…,n),独立且服从正态分布N(0,σ),对一般情况,做代换Yt=Xt-μ,St(1)为时间序列中时间t达到一次指数平滑值的定义:

  St(1)=αxt+(1+α)St-1(1)(t=1,2,…,n, 0≤α<1)

  根据递推关系可得:
 
  St(1)=αxt+(1-α)[αxt-1+(1-α)St-3(1)]

  =αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2[αXt-2+(1-α)St-3(1)]

  =αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1+(1-α)tS0(1)]

  因0≤α<1,所以t→∞时,limt→∞(1-α)t=0

  那么

  St(1)=αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1

  12  二次指数平滑法的定义

  设S1(1),S2(1),…,Sn(1)为线性趋势某时间序列t的一次指数平滑值,St(2)为时间t的二次指数平滑值,若St(2)=αSt(1)+(1-α)St-1(2),(t=1,2,…,n,0≤α<1)

  根据递推关系可得:

  St(2)=αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+

  α(1-α)t-1St(1)

  因E(Xi)=0, Var(Xi)=σ2,Xi独立。

  
  均值E(St(1))=E[αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+

  α(1-α)t-1X1]=0
 
  Var(St(1))= Var[αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1]

  =Var(αxt)+Var[α(1-α)xt-1]+Var[(1-α)2αXt-2]+…+Var[α(1-α)t-1X1]

  =α2Var(xt)+α2(1-α)2Var(xt-1)+(1-α)4α2Var(Xt-2)+ … +α2(1-α)2(t-1)Var(X1)

  =α2[1+(1-α)2+(1-α)4+…+(1-α)2t-2]σ2

  =α[1-(1-α)2t]     2-α σ2

  E(St(2))=E[αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+

  α(1-α)t-1S1(1)]=0
 
  Var(St(2))= Var[αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+α(1-α)t-1S1(1)]

  =α2Var(St(1))+α2(1-α)2Var(St-1(1))+α2(1-α)4Var(St-2(1))+ … +α2(1-α)2t-2Var(S1(1))

  =α2α[1-(1-α)2t]     2-α σ2+α2(1-α)2α[1-(1-α)2t-2]     2-α σ2+… +α3(1-α)2t-21-(1-α)2     2-α σ2

  =α3σ2     2-α{1-(1-α)2t+(1-α)2[1-(1-α)2t-2]+(1-α)4[1-(1-α)2t-4]+…+(1-α)2t-2[1-(1-α)2]}

  =α2σ2     (2-α)2{1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)]

  因为St(1)是Xt(t=1,2,…,n)的线性组合,而St(2)是St(1)的线性组合且Xt∈N(0,σ2),所以St(2)、St(1)也服从正态分布:

  St(1)~N(0, α[1-(1-α)2]     2-α σ)2

  St(2)~N(0, α2σ2     (2-α)2[1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)])

  2  建立数学模型

  假定:序列S1(1),S2(2),……,Sn(1)具有线性趋势变动

  预测方程为:

  t+T=t+tT      t=2St(1)-St(2)

  t=α     1-α(2St(1)-St(2))

  t+T是第t+T期的预测值,t为预测模型所处的时间周期,T为由预测模型所处的时间周期至需要预测的时间之间的周期数,t,t为参数。

  E(t)=E(2St(1)-St(2))=0

  E(t)=E(α     1-α(St(1)-St(2)))=0
 
  Var(t)= Var(2St(1)-St(2))=4VarSt(1)+VarSt(2)

  =4α[1-(1-α)2]     2-α σ2+α2σ2     (2-α)2[1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)]

  =f(α)σ2
  
  Var(t)= Var(α     1-α(St(1)-St(2)))

  =α2     (1-α)2 Var(St(1)-St(2))

  =α2     (1-α)2{ σ2α[1-(1-α)2]     2-α +α2σ2     (2-α)2[1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)]}

  =g(α)σ2

  因为t,t是Xt的线性组合,所以t,t分别服从正态分布N(0,f(α)σ2),N(0,g(α)σ2)。

  3  对参数作出假设检验

  假设:H0:t=0, H1:t≠0

  t~N(0,g(α)σ2),N=t-0     g(α)σ2~N(0,1)

  因为σ2未知,用无偏估计s2=1     n-1∑(Xi-)2代替σ2。

  Z=(n-1)Sn2     σ2~X(n-1)2

  t=N     Z     n-1=t     g(α)σ2/S2     σ2=t     g(α)S2~tn-1

  取显著水平α,确定拒绝域为m=(-∞,-t1-α     2(n-1))∪(t1-α     2(n-1),+∞),其中t1-α     2(n-1)满足p{|t|≥t1-α     2} = 1-α,可由t2分布表查表得到。

  作决策:若|t|≥t1-α     2(n-1),拒绝零假设H0,说明Xi对方程有显著影响;若|t|≤t1-α     2(n-1),接受零假设H0,说明Xi对方程无显著影响。

  4  预测

  对于不同的样本,会有不同的拟合直线,当直线变化有一定范围,不考虑扰动项εi仅对t+T=t+tT的均值进行预测,而E(t+tT)恰好是t+T=t+tT的均值E(t+T)。

  先:
 
  Cov(t,t)=E((t-Et)(t-Et))=E(t,t)

  =E[(2St(1)-St(2))(α     1-α(St(1)-St(2)))]

  =α     1-αE(2(St(1))2+(St(2))2-3St(1)St(2))

  =α     1-α[2E(St(1))2+E(St(2))2-3ESt(1)St(2)]

  因为

  EXi2=σ2, EXiXj=0  (i≠j,(i=1,2,…,n))

  Eξ2=σ2+μ2(μ=0)

  E(St(1))2=Var(St(1))+(E(St(1)))2=Var(St(1))+0

  =Var(St(1))=α[1-(1-α)2t]     2-ασ2

  E(St(1)St(1))=E[(αXi+α(1-α)Xt-1+α(1-α)2Xt-2+…+α(1-α)t-1X1)(αXi+α(1-α)Xt-1+L+α(1-α)i-1X1)]

  =E[α2(1-α)i+t-2X12+α2(1-α)i+t-4X22+…+α2(1-α)t-iXi2+∑dXiXj]  (d=d(α)i≠j)

  =α2(1-α)i+t-2σ2+α2(1-α)i+t-4σ2+…+α2(1-α)t-iσ2+0+…+0

  =(1-α)i+t-2[1-(1-α)-2i]     1-(1-α)-2 α2σ2

  =(1-α)i+t-(1-α)t-i     α-2 ασ2    (1≤i≤t)

  E(St(2)St(1))=E[(St(1)(αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+α(1-α)t-1St(1)))]

  =E[α(St(1))2+α(1-α)St(1)St-1(1)+α(1-α)2St(1)St-2(1)+…+α(1-α)t-1St(1)St(1)]

  =ασ2α[1-(1-α)2t]     2-α+α(1-α)ασ2[(1-α)-(1-α)2t-1]     2-α+α(1-α)2ασ2[(1-α)2-(1-α)2t-2]     2-α+…+α(1-α)t-1ασ2[(1-α)t-1-(1-α)t+1]     2-α

  =α2σ2[(1-1-α)2t]     2-α+α2σ2[(1-α)2-(1-α)2t]     2-α+α2σ2[(1-α)4-(1-α)2t]     2-α+…+α2σ2[(1-α)2t-2-(1-α)2t]     2-α

  =α2σ2     2-α[1-(1-α)2t+(1-α)2-(1-α)2t+…+(1-α)2t-2-(1-α)2t]

  =α2σ2     2-α[1-(1-α)2t     1-(1-α)2-t(1-α)2t]

  =α2σ2     (2-α)2[1-(1+2t-tα)(1-α)2t]
 
  E(St(2))2=Var(St(2))+(E(St(2)))2=Var(St(2))+0

  =α3σ2     (2-α)2[1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)]
 
  Cov(t,t)=α     1-α{2α[1-(1-α)2t]     2-ασ2+α3σ2     (2-α)2[1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)]-3ασ2     (2-α)2[1-(1+2t-tα)(1-α)2t]}

  =σ2h(α)

  取T=T0固定值

  Var(t+T)=Var(t+tT0)

  =Vart+T0Vart+T0Cov(t,t)

  =f(a)σ2+T0g(a)σ2+T0h(a)σ2

  =[f(a)+T0g(a)+T0h(a)]σ2=mσ2

  t+T0~N(Et+T0,mσ2)因t,t服从正态分布,标准化t+T0-Et+T0     mσ2~ N(0,1)。当σ2未知时,用σ2的无偏估计S2=1     n-1∑(Xi-)2
  代替有:

  t+T0-Et+T0     mσ2~ tn-1。

  给一个置信度α,查表求出tα     2(n-1)t+T0可以计算。

  t+T0-Et+T0∈-tα     2mS, tα     2mS

  预测区间为:

  Et+T0∈t+T0-tα     2mS, t+T0+tα     2mS,区间大小取决于α。

  

  1  陈宏立,预测与决策方法暨南大学出版社,1998

  2  刘次华概率论与数理统计高等出版社,2002

  3  严士健,等概率论基础出版社,1999

  4  刘振亚计量经济学教程人民大学出版社,1996