中学数学课程与教学中的函数及其思想

20世纪以来，世界各国中学数学中关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心。 ^［1］现在，函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。因此，在中学数学课程改革中，理解函数思想，把握函数本质，处理好函数的教学是很重要的。针对上述问题，我对史宁中教授进行了访谈，下面是经过整理后的访谈记录。

一、函数及其思想

?问：函数概念是中学数学中最重要的概念之一，函数定义的形成经历了较长的演变过程，您可以谈谈函数定义的吗？

▲史教授：是的，函数定义的形成确实经历了较长的时间。即使在今天，在我们数学教科书中，函数的定义在初中、高中、大学还是有所不同的，这也从一个侧面反映了函数定义的发展历史。

最初，是德国数学家莱布尼茨（Leibniz）在他的一部手稿中，用到了Function一词。是用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，例如，切线、法线、次切线等的长度和纵坐标等，那是在17世纪（1673年）。 ^［2］

到了18世纪（1718年），贝努利（Bernoulli）给出了函数的解析定义：是由变量x和常数组成的式子。

欧拉（Euler）首先给出了函数的变量定义（1755年）：“如果某变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一些变量的函数。”可以看到，我国初中数学教科书中关于函数的定义就采用了这一说法。

后来，黎曼（Riemann）给出了函数的对应定义（1851年）：“我们假定Z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的一个值与之对应，则称W是Z的函数。”这可以被看作我国高中数学教科书中关于函数定义的雏形。

到了上个世纪（1939年），布尔巴基学派认为，函数的定义应当强调关系，于是借用了笛卡儿积：若X、Y是两个集合，二者的笛卡儿积是指集合{（x,y|x∈X，y∈Y）}，笛卡儿积中的子集F被称为x与y之间的一种关系。如果关系F满足：对于每一个x∈X，都存在唯一的一个Y，使得（x,y）∈F，则称F是一个函数。在美国中学的一些教科书中就采用了这种定义， ^［3］我国的一些大学数学教科书也有采用这种定义的。 ^［4］

有时，分别称上述三种定义为变量说、对应说和关系说。

?问：既然函数的定义可以是多样的，那么函数定义的核心思想是什么呢？

▲史教授：我认为，在整个基础阶段数学的核心是研究关系，具体来说研究三种关系，即数量关系、图形关系和随机关系，我在一篇文章中曾经谈到这一点。 ^［5］函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的：一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号来表示函数。我想，这些就是函数定义的核心思想。关于符号表达，无论是借助解析式，还是利用图像或者列表都是可以的。

?问：函数是中学数学的重要内容，您能否谈一下在中学学习函数的重要性？

▲史教授：在中学阶段的数学教学要突出函数的内容，这是数学家们长期实践后得出的结论。克莱因（F.Klein）在为中学数学教学起草的《米兰大纲》（1905年）中明确提出：“应将养成函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础。”在他的名著《高观点下的初等数学》中，他进一步强调用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容。 ^{［6］（19—21）}

刚才已经谈到，要表达函数必须借助数字以外的符号。利用符号表达是具有一般性的，因此函数表达是数字表达的抽象和深化。同时，利用符号进行运算和推理所得到的结论也是具有一般性的，正因为这一点，使得人们能够借助函数构建模型，能够更好地刻画现实世界中的数量关系，并且通过数量关系的研究来解释现实世界。这不仅仅体现在、体现在工程技术上，也逐渐广泛地体现在人文社会科学上：世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。这些，又促使数学家们深入地研究各种函数的性质、运算以及与空间形式的关联，使得数学经历了从常量到变量、从有限到无限、从低维到高维的发展，一批新的数学分支应运而生。因此，无论是从数学的应用还是从数学本身的发展上，函数的重要性怎么说都不过分。

?问：函数、方程、不等式都是中学代数的重要数学内容，您能否谈一谈它们之间的联系和区别？

▲史教授：函数、方程、不等式是从不同角度刻画变量之间的数量关系，它们之间是有关联的，但又有本质的区别。比如，令f（x）=x²-3x-4，这是一个函数。表面上看，f(x)=0与方程x²=3x+4是等价的，但是二者所表达的意义是不同的：前者表示函数取0值，而后者表示变量之间的等量关系。同样，f(x)＞0与不等式x²＞3x+4所表达的意义也是不同的。在解决具体问题时应当注意它们之间的关联，比如，在求不等式的解的过程中，可以先求出等式的解，借助等式的解画出函数的图像，然后通过函数的图像写出不等式的解。

二、函数的课程设计

?问：刚才您已经谈到，关于函数的定义我国初中和高中的数学教科书中是有所不同的，您认为这种课程设计是合理的吗？

▲史教授：我认为，整个基础教育阶段的数学教育，应当从课程设计的角度统筹考虑。我们应当清楚每个年龄段的学生适于学习什么，怎样学。说得详细些，如果把小学分为两个学段，初中和高中各为一个学段，则在基础教育阶段共有四个学段。第一学段不要过多地学习数学，因为那时的孩子还不能很好地理解数学所表达的意义；第二阶段不要过多地涉及逻辑，因为学生还没有建立起足够的可以理解逻辑的概念；第三阶段不要过多地涉及形式化的抽象，因为首先要培养学生基于物理属性的、基于本原的抽象；到了第四阶段，可以逐渐让学生接触形式化的抽象概念。

上述想法是否合理是需要验证的，需要通过数据调查与分析。如果是合理的，那么关于函数概念的定义在初中数学教科书中采用变量说，在高中数学教科书采用对应说是有道理的。特别是，在初中阶段学生已经掌握了函数知识的主干部分，到高中阶段再进一步发展和扩充，也是符合布鲁纳所主张的建构主义方法的。 ^{［6］（50—51）}

?问：函数概念比较抽象，学生不容易理解，您是否可以谈一谈在数学教材编写上如何处理这个问题？

▲史教授：函数概念本身就不好理解，又是学生在数学学习过程中第一次遇到的一般意义的抽象概念，学生对其理解有困难是不言而喻的。国外关于函数教学的研究也表明了这一点：函数概念有许多复杂的层次和许多相关的下层概念。这样，函数确实变成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。因此，针对这样的概念，我们不要期望一堂课或者几堂课就能让学生很好地理解，应当通过各种具体的例子和习题的分析帮助学生理解函数概念。

至于函数概念的引入，一般来说有两种处理办法：一种是从一般到特殊，直接给出函数的概念，然后举例加以说明；另一种是从特殊到一般，先举一些学生熟悉的特殊例子，通过对这些例子的分析，抽象出函数的本质属性，然后归纳出函数的定义。我想，在初中阶段用后一种方法可能比较合适，而在高中阶段用前一种方法可能比较合适。有了初中的基础，在高中阶段直接给出定义，可以与初中的定义比较，在差异中加深理解。

?问：为了加强对函数的理解，您认为在中学数学课程设计中还要注意哪些？

▲史教授：还要帮助学生树立建立模型的思想，积累数学活动经验。在函数的重要性那里我已经谈到，函数是对现实世界数量关系的抽象，是具有一般性的，是建立数学模型的基础。因此通过建立模型、分析模型、求解模型、解释等过程，引导学生理解函数是一个好的学习途径。一定要注意到，在建立模型的过程中，除了分析的方法之外，还有尝试的方法，就是先用具体的数值一些特殊的情况，然后再归纳出一般的模型。比如鸡兔同笼问题，可以先用具体的数计算一下，摸索头的数与腿的数之间的关系，然后再寻求一般的结论。

在这样的学习过程中帮助学生积累数学活动经验是重要的。要使学生在实践活动中感悟：数学不仅仅需要演绎，也需要归纳。所谓归纳推理（包括类比）是指一类事物中，部分事物具有某种属性，推断这一类事物都具有这种属性，这是一个由特殊到一般的过程。而演绎推理则恰恰相反，是从已有的事实（公理、定义、定量等）出发，按照一定的法则（包括运算法则）进行推理，是从一般到特殊的过程。可以想象，前者利于推测结论，后者利于验证结论，在数学的学习中，这二者缺一不可。可以想象，通过类似建立数学模型这样的学习，可以培养学生的归纳能力，在实践中应用函数，从而加深对函数的理解。

?问：函数和中学数学的其他内容有着密切的联系，您认为在课程设计时应当如何协调好这些关系？

▲史教授：关键要处理好函数与图形的关系。正如莱布尼茨提出Function这个名词时所思考的那样，函数与图形有着密不可分的关联。一方面，只有借助图形才能使毫无生机的数学符号变得形象，使得学生可以直观地把握函数的特性，把握函数中系数的作用，分析函数的变化规律、函数的定义域、函数取正值或者负值的区间，等等；另一方面，借助平面直角坐标系，通过函数可以把代数与几何有机地结合起来，可以让学生感悟：有些几何问题可以利用代数的方法进行研究，有些代数问题则可以利用几何的直观进行分析。根据这个理由，我想，虽然在课程标准中，平面直角坐标系是放在几何部分阐述的，但是进行课程设计时可以根据需要，与函数同时出现。

因为函数的知识、方法和思想是高中阶段数学学习的基础，所以在课程设计时还应当考虑知识的衔接和前后呼应。在高中数学教学大纲中，把立体几何安排在第一学期，把三角函数安排在第二学期，如果在解决立体几何问题时用到三角函数就会出现问题。特别是，学生在初中阶段已经接触到函数了，到了高中可以趁热打铁。

三、函数的教学

?问：您谈到在函数的教学过程中应当使学生加深对函数的理解，您能否谈得再详细一些？

▲史教授：一个好的教学应当能够实现下面两条：一是能够引发学生思考、激发学生学习的兴趣，另一是能够培养学生良好的学习习惯、掌握有效的学习方法。简单明了、切中要害的例子是帮助学生加深理解最好的媒介，一位好的教师应当掌握一些具体的例子，这样在教学过程中可以根据学生的反映举出简单一些或者复杂一些的例子，引发学生思考，帮助学生理解。良好的学习习惯和有效的学习方法是需要日积月累的，有效的学习方法包括独立思考、善于尝试、能够提出有意义的问题。所以我曾经谈到，在进行函数教学的过程中应当让学生用具体的数试一试。

刚才我已经谈到，函数与图形的联系是非常重要的，因此在教学过程中要利用图形，在有条件的地方可以用计算机辅助教学。几何画板制作的教学课件可能会有助于学生对函数概念的直观理解。

?问：学生对函数概念的学习有这样一种现象，如求函数的定义域、值域等技巧性很强的问题解决得很好，但对函数概念的理解却不是很深刻，请您谈谈这和教学是否有关系。

▲史教授：你说的这种现象是存在的。形成这种现象的原因是多方面的，有的，有教学的，也有文化方面的。记得有一篇文章谈到：西方人主张“理解、理解、理解”，而我们则多半主张“练习、练习、练习”。 ^［7］最近，我听说有的学校要求学生：“一看就会，一做就对。”为了做到这一点，在课堂教学时就必须进行大量的解题训练，甚至是相当繁杂题目的解题训练。他们让学生练习的目的不是为了加深对知识的理解，而是为了加强对技巧的掌握，是为了“熟能生巧”，认识只有通过这样的训练才能应付考试。他们的想法是不对的，在这种想法之下是不可能派生出好的教学的。应当知道，知识的理解往往是具有一般性的，可以举一反三，可以再创造，技能的掌握则往往是个案的，需要亲身经历，需要记忆。因此，帮助学生理解才是最重要的，因为理解必须经过学生的独立思考，才能使学生真正地掌握知识，从而能够真正地掌握技巧，甚至发明技巧，才能以不变应万变。我想，要求学生能够熟练地回答问题是不必要的，时间长一点只要把问题做出来就可以了。不经过思考的解题不是数学教学。另一方面，在教学活动中的大量重复训练必然要破坏数学的趣味性，引起学生的反感，抑制学生的学习积极性，更谈不到创新人才的培养了。

你问到函数的定义域和值域。事实上，要理解函数就必须理解定义域和值域，因为这些是函数的基本概念。在一般情况下，根据问题的背景可以先得到定义域，然后通过函数的变化规律得到值域；在有些情况下，希望控制函数在某一个区间取值，于是就先得到了值域，然后反推定义域。通过练习，很好地理解定义域和值域，对于深入理解函数性质是很重要的。但是，那些在求定义域和值域中加了许多花样的题目，不是在求定义域和值域，而是在进行代数方程的运算。这样的技巧训练，往往会破坏学生对函数的定义域和值域本身的理解，是不可取的。

四、函数的学习

?问：函数通常有三种表示形式，这是不是造成学生学习函数困难的原因呢？应当如何理解函数的表示形式？

▲史教授：我想，表示方法本身不应当是学生理解函数概念困难的主要原因。正如我刚才谈到的，函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的具有一般意义的抽象概念，在这个定义下可以派生出许许多多具体的函数。对于初中学生来说，对于这种多层次概念的理解是需要时间和经验积累的，如果在这个时候不能很好地处理函数的表达形式，必将引起学生的困惑。因此，在教学过程中，先不要忙于教三种表达形式，而要让学生通过各种实例，逐渐熟悉了函数的对应关系之后，再适时地归纳出函数通常的三种表达形式。事实上，表达形式不是函数的本质，对应关系才是重要的。

虽然函数通常有三种表达形式，但功能是有所区别的。解析式是最常用的方法，适用于表述连续函数或者分段函数，解析式有利于研究函数的性质、构建教学模型，但对初学者来说也是最抽象的；列表法适用于表述变量取值是离散的情况；利用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的。世间没有十全十美的方法，可以根据讨论问题的不同选择恰当的表示形式。

?问：您能否针对函数概念的形式化，再谈谈学生学习函数时遇到的困难？

▲史教授：这是一个非常普遍的问题。正如我刚才谈到的，学生第一次接触如此形式化的概念，感到困惑是的。应当注意到，初中阶段是人的身心发育最为显著的阶段，也是形成人的基本观念的重要阶段，这个阶段的学生开始希望自己独立思考，并且有能力进行独立思考了。正如皮亚杰（Piaget）说的那样，十一二岁的儿童已经到了形式操作（Formal Operations）阶段，可以区分思维形式与思维内容，能够运用假设进行各种逻辑推理（J.Piaget,The Principles of Genetic Epistemology,Routledge & Kegan Paul Ltd.,1972（W.Mays从1970年的法文版翻译成））。我们的教学必须充分考虑到这一点，只要教学得当，学生是可以理解形式化的概念的。但这种形式化要建立在物理的背景之下，让学生逐渐熟悉形式化的概念。

对于学生来说，最难于理解的大概是形式化的反函数。这不仅仅是抽象的问题，还涉及辩证的思维。再有一个是变量的概念。研究表明，初中阶段还有很大一部分学生不能用运动、变化的观点来看待问题。但是变量是从算术提升到代数的关键，必须通过一些实例让学生逐渐感悟：变量的研究具有一般性，这是建立数学模型的根本，也是数学的根本。不过，这些概念的形成必须引导学生自己逐渐感悟。只有到高中阶段，学生才能对其所理解的概念，作出较全面的反应本质特征和属性的合乎逻辑的定义。 ^［8］

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［1］张奠宙，张广祥.中学代数研究［M］.北京：高等出版社，2006.93.

［2］M·克莱因.古今数学思想（第一卷）［M］.上海：上海科技出版社，1979.123.

［3］陆书环.美国中学数学教材中的函数概念及特点分析［J］.中学数学，1999，（3）：6—7.

［4］高夯.高观点下的中学数学分析学［M］.北京：高等教育出版社，2001.90—91.

［5］史宁中，孔凡哲.方程思想及其课程教学设计［J］.课程·教材·教法，2004，24（9）：27—31.

［6］丁尔升.中学数学课程导论［M］.上海：上海教育出版社，2000.

［7］张奠宙.数学教育经纬［M］.南京：江苏教育出版社.2003.99.

［8］朱智贤，林崇德.思维心［M］.北京：北京师范大学出版社，1996.547—549.