一道不等式证明问题的感想

        不等式的证明对高中学生来讲是难点，因为不等量关系比等量关系难以理解更不好利用，再加上不等量变形的技巧妙趣无穷，下面这道不等式的证明将给你一种全新的感觉。
        例题：设a∈R，函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)，若|a|≤1，证明：|f(x)|≤5/4。
        一、 构造意识为主线，合理放缩是关键。分析：最大值是5/4，构造二次函数达到目标是比较理想的结果，只是条件；|x|≤1,∣a∣≤1不好利用，只有巧妙的放缩才能完成二次函数的构造。
        证明一：|x|≤1,|a|≤1.|f(x)|=|a(x2―1)+x|≤|a(x2―1)|+|x|=|a||x2―1|+|x|≤|x2―1|+|x|=|1― x2|+|x|=1―(|x|)2+|x|=―(|x|―1/2)2+5/4≤5/4
        二、 标准模型为目标，合理换元是高招。分析：要证|f(x)|≤5/4 ，只需证 ―5/4≤f(x)≤5/4。这是常规的思路，寻此思路再附以恰当的换元不难找到证明方法。 
        证明二：∵|a|≤1，|x|≤1， 可设 x= sinα， a=cosβ ，α，β∈R
        则f(x)= cosβsin2α+ sinα―cosβ=cosβ(sin2α―1)+ sinα 
        ∵―1≤ cosβ≤1，      ―1≤sin2α―1≤0    
        ∴  sin2α+sinα―1≤f(x)≤―sin2α+sinα+1，                       
        即( sinα+1/2)2-5/4≤f(x)≤―(sinα―1/2)2+5/4  ∴―5/4≤f(x)≤5/4  
        ∴|f(x)|≤5/4。 
        三、 一次函数雾里现，比较大小看增减。分析：f(x)的解析式中把a当成自变量就是一次函数，并且斜率为负数或0，由函数的单调性f(x)的取值范围（不等关系）容易找到。 
        证明三：f(x)= a（x2―1）+x看作是a的一次函数g(a)，
        由|x|≤1得（斜率）x2―1≤0
        （1） 当x2―1＜0 时，关于a的一次函数g(a) =f(x)是减函数，
        ∴g(1)≤f(x)≤g(―1) 
        ∴  x2―1+x≤f(x)≤―（x2―1）+x ，  
        ∴ (x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4
        ∴―5/4≤f(x)≤5/4   ∴|f(x)|≤5/4。  
        （2）当x2―1=0时， g(a) =f(x)= x
        ∴∣f(x)∣=|x|≤1，显然|f(x)|≤5/4。综上可知|f(x)|≤5/4。