Burgers方程的半离散数值方法

            作者：赵东涛 李文潮 陈长生 张改英 吴克坚 徐清华  

【摘要】  　　目的： 探讨Burgers方程的半离散Fourier?Galerkin差分格式数值解。方法：非线性函数的有界延拓法和傅立叶变换理论。结果：建立了Burgers方程的半离散Fourier?Galerkin差分格式数值解，讨论了该差分格式的稳定性。结论： 构造的Burgers方程的半离散Fourier?Galerkin差分格式数值解具有收敛性和稳定性，并给出了误差估计。

【关键词】  Burgers方程； 谱方法

　　1  引言
   
　　偏微分方程数值解的理论和实践都证明Fourier谱方法是一种非常有效的算法，从理论上说，这种方法具有“无穷阶”的收敛速度。就实际而言，运用快速Fourier变换（F.F.T），大大降低了运算量，使得运算速度大幅提高。正是基于这一事实，Fourier谱方法及拟谱方法被广泛应用于偏微分方程数值解的计算.Burgers方程是一类重要的数学物理方程，本研究用半离散Fourier?Galerkin方法，解决如下的周期初值的Burgers方程的数值解问题:
   
　　ut-vuxx+uux=0,    x∈R, t∈［0,T］

　　u(x,0)=u0(x),      x∈R

　　u(x+2π,t)=u(x,t),  x∈R,t∈［0,T］（1）

　　其中v,T是正常数，u0(x)是以2π为周期的已知实函数，u(x,t)是未知实函数。
   
　　关于方程组（1）整体古典解的存在唯一性，郭本喻［1］给出了充分性条件的定理。不少对方程的差分方法进行了研究［2，3］，也有人研究其谱方法的误差估计［4］。本研究则用半离散Fourier?Galerkin方法，构造了Burgers方程的半离散格式，用非线性函数的有界延拓法证明了格式的稳定性，并给出了差分格式的误差估计。

　　2  半离散Fourier?Galerkin 方法
   
　　令Ω=［0，2π），J=［0，T］，Γ=Ω×J，对于整数s≥0，定义Sobolev空间Hsp(Ω)={u∈Hsloc(R):u(x+2π)=u(x),?x∈Ω}，并在Ω上定义L2内积和范数：
   
　　(u,v)=∫Ωudx, ‖u‖=(u,u); Hsp(Ω)上Sobolev范数和半范数定义为：
   
　　‖u‖=?|α|≤s‖Dαu‖2,|u|s=?|α|=s‖Dαu‖2
   
　　我们取Hsp(Ω)中一组标准正交基函数φk(x)=(2π)-12exp(ikx),k=0,±1,±2,对于给定的正偶数N，定义由φk(x): k=-N2, …，N2所张成的由实值函数所构成的空间为S*N：
    
　　S*N=Ψ：Ψ=?N2k=-N2akφk(x),ak=a-k, k=-N2,…， N2
   
　　并且记Hsp(Ω)在S*N上的正交L2投影算子PN：Hsp(Ω)→S*N，对于u∈Hsp(Ω)及?φ∈S*N，投影算子PN满足等式：(u,φ)=(PNu,φ)，即对于u∈Hsp(Ω)，PNu=?N2k=-N2kφk(x),这里k=(u,φk)是u的Fourier系数，它满足j=-j,j=-N2,… ，N2，记U*（x,t)是方程组（1）的解，我们给出解曲面S及其ε域的定义。
   
　　定义   称集合S={（x,t,U*(x,t))∈R3:(x,t)∈Γ}为方程（1）的解曲面， 称集合S（ε)={(x,t,u)∈R×J×R:|u-U*(x,t)|≤ε}为方程(1)解曲面S的ε域。
   
　　引理1  设u∈Hsp(Ω)，对于s≥j≥0，存在与u、N无关的正常数C，使得‖u-PNu‖j≤CNj-s|u|s 。

   
　　引理2  设u∈S*N，对于σ≥μ≥0，存在与u,N无关的正常数C，使得‖u‖σ≤CNσ-μ|u|μ 。
   
　　方程(1)的半离散Fourier?Galerkin 方法的定义是：寻找一个un：J→S*N，使之满足：对于?φ∈S*N，都有下面方程组成立：
   
　　(uNt,φ)+v(uNx,φx)+(uNuNx,φ)=0

　　uN(x,0)=PNu0(x)（2）

　　式中uN(x,t)=?N2k=-N2Nk(t)φk(x)，其中Nj=N-j,j=-N2,…，N2。在上式中,令φ=φk(x),k=-N2,…，N2,则得到一个含有N+1个未知变量的一阶常微分方程组。
   
　　引理3  如果半离散格式存在解uN，它必满足不等式：

　　‖uN(t)‖L2≤ ‖uN(0)‖L2。
   
　　证明：在（2）式中，令φ=uN，则有
   
　　(uNt,uN)+v(?uN,?uN)+(uN?uN,uN)=0

　　因为实函数uN具有周期性，所以(uN?uN,uN)=0,

　　而(uNt,uN)=12ddt(‖uN‖2)，

　　故12 ddt(‖uN‖2)+v‖?uN‖2=0,由v>0，

　　推出12 ddt(‖uN‖2)≤0 , 故‖uN（t)‖2L2≤‖uN(0)‖2L2。
   
　　定理  若u0(x)∈Hsp(Ω), s>12，并设（1）的解u∈L∞( J, Hsp(Ω))则方程（2）存在唯一解，且存在与N无关的正常数C及正整数N0，使得当N≥N0时，方程（2）的解uN满足‖u-uN‖L∞( J, L2p(Ω))≤CN-s。

　　3  数值结果
   
　　ut-vuxx+uux=-12sin2x·e-2vt  (3)
   
　　u(x,0)=cosx
   
　　u(x+2π,t)=u(x,t)
   
　　我们可以验证u(x,t)=cosx·e-vt是以上方程(3)的精确解，把在机上得到的结果与精确解进行比较。对于第n层，tn=nΔt，该层上网格点(xj,tn)处数值解与精确解的误差为ej=u(xj,tn)-unN(xj)。第n层数值解与精确解的逼近程度可用范数‖e‖∞和‖e‖2来度量，其中
   
　　‖e‖∞=max0≤j≤N-1{|ej|}  ，  ‖e‖2=(h?N-1j=0|ej|2)1/2
   
　　在这个例子中，v=0.003, T=1.25, 我们将区间J=［0,T］M等份，步长Δt=T/M。取M=100，每隔10层进行一次误差分析，在t=1.25，N=16时，Δt=1.25×10-3,容易看出，数值解精度高是拟谱算法的一个明显优点。从理论上分析，如果方程（1）的解充分光滑，即s充分大，算法的误差主要取决于时间步长Δt，而不是N。

【】
  　　1 郭本喻. 偏微分方程的差分方法. 出版社, 1988.

　　2 郭本喻. Burgers方程的数值解(Ⅰ).高校计算数学学报,1981.

　　3 郭本喻. Burgers方程的数值解(Ⅱ).高校计算数学学报,1982.

　　4 马和平. 广义K.D.V?Burgers方程的谱方法及其误差估计 . 计算数学, 1987.