高致病性传染病诊治过程的统计模型
【摘要】 本世纪以来，非典型肺炎、禽流感、口蹄疫等一类高致病性传染病疫情在世界范围内时有发生，严重威胁着人类生存安全。的应对之策首先必须对这类高致病性传染病患者“一经发现，即刻无条件严格隔离诊治”过程给予统计描述，然后以此为理论依据，运用概率生成函数这个研究整值随机变量（过程）的解析工具，研究描述该过程的统计，给出这类高致病性传染病“消失”的概率。
【关键词】 诊治过程； 诊治结构； 概率分布； 复合分布； 概率生成函数； 均值函数； 方差函数； 消失概率
1 引言
众所周知，进入21世纪以来，非典型肺炎、禽流感、口蹄疫等一类高致病性传染病疫情在世界范围内时有发生，严重威胁着人类生存安全。面对这一突如其来的人类生存安全危机，我们应如何应对？显然地，我们对此应持的正确态度应该是：一是不怕，二是抗争。依靠人类长时期积累起来的抗击各类高致病性传染病的经验、技术、知识、智慧，进行科学决策，抗争而获胜。
为了科学地作出抗击象非典型肺炎等一类高致病性传染病的应对之策，有理、有利、有节地进行全民科学防治象非典型肺炎等一类高致病性传染病，我们有必要去研究象非典型肺炎等一类高致病性传染病诊治过程的统计规律。
2 高致病性传染病诊治过程的统计描述
一个高致病性传染病患者（称为第0代）在其发现诊治过程中，可能经过空气等传染其周围接触者致其患上相应的高致病性传染病而产生0，1，2，…个高致病性传染病患者从而形成第1代高致病性传染病患者；而第1代高致病性传染病患者中的每一个患者又将因同样原因再产生高致病性传染病患者，他们全部合在一起而形成第2代高致病性传染病患者；如此继之，假设第n代高致病性传染病患者的个数为Yn。
由于我国对高致病性传染病患者所采取的政策是：一个高致病性传染病患者（包括疑似者）一经发现，即刻无条件严格隔离诊治。据此，我们可以给予这样的一个高致病性传染性诊治过程一个符合实际的概率结构而得到一个高致病性传染病诊治结构，即：
① 一个高致病性传染病患者所产生的高致病性传染病患者的个数为X ,其概率分布为：
P（X=k)=pk k=0,1,2,… (1.1)
且在给定的一代高致病性传染病患者中,每个高致病性传染病患者的上述概率分布均相同;
② 各代高致病性传染病患者的上述概率分布亦相同;
③ 不同高致病性传染病患者所造成的传染后果相互独立。
如此一来,我们需要处理解决的就是一独立同分布的随机变量序列{Yn} 的概率分布问题。
3 Yn的概率生成函数
定理1: 在高致病性传染病诊治过程中,设X的概率生成函数或母函数为：
g(s)=?∞k=0skpk (1.2)
Yn的概率生成函数或母函数为gYn(s)，则Yn+1的概率生成函数或母函数为：
gYn+1(s)=gYn［g(s)］ (1.3)
证: 因Y0=1,故由①知 Y1的概率分布为：
q1,k=P(Y1=k)=P(X=k)=pk, k=0,1,2,… (1.4)
概率生成函数或母函数为:
gY1(s)=g(s)=?∞k=0skpk (1.5)
又因第二代高致病性传染病患者包含第一代高致病性传染病患者中的Y1个高致病性传染病患者所产生的直接高致病性传染病患者，故Y2是Y1个相互独立同分布的随机变量之和,即Y2=?Y1i=1X 。
从而Y2具有一个复合分布,且其概率生成函数或母函数为:gY2(s)=g［g(s)］
事实上,gY2(s)=E(sY2)=E{［E(sY2/ Y1)］} =
{［E(s?Y1i=1X1/Y1)］}=E{［g(s)］Y1}=gY1［g(s)］=g［g(s)］
如此类似地,因第n+1代高致病性传染病患者包含第n代高致病性传染病患者中的Yn个高致病性传染病患者所产生的直接高致病性传染病患者,故Yn+1是Yn个相互独立的同分布的随机变量之和,即Yn+1=?Yni=1X 。
从而Yn+1具有一个复合分布,且其概率生成函数或母函数为:
gYn+1(s)=gYn［g(s)］ (1.6)
事实上, gYn+1(s)=E(sYn+1)=E{［E(sYn+1/ Yn)］}=E{［E(s?Yni=1X)］}=E{［g(s)］Yn}=gYn(g(s))
另一方面,因第n+1代高致病性传染病患者包含第一代高致病性传染病患者中Y1个高致病性传染病患者所产生的第nn代高致病性传染病患者，故Yn+1的概率生成函数或母函数为: gYn+1(s)=g［gYn(s)］。
于是,由(1.3)或(1.6)知: gYn+1(s)的显式取决于Y1的概率分布{pk}。例如,若Y1的概率分布为:P（Y1=k)=pk=［m(t)］kk!e-m(t),k=0,1,2,…, m(t)=∫t0λ(τ)dτ,而λ(t)≥0称为传染强度函数。
则Y1的概率生成函数或母函数为:
g(s)=?∞k=0 sk ［m(t)］kk! e-m(t)=e-m(t)?∞k=0［sm(t)］kk!
= e-m(t)［1-s］
Y2的概率生成函数或母函数为:
gY2(s)=g［g(s)］=e-m(t)［1-g(s)］
Yn+1的概率生成函数或母函数为:
gYn+1(s)=g［gYn(s)］=e-m(t)［1-gYn(s)］
4 Yn的概率分布
定理2: 在高致病性传染病诊治过程中,设Yn的概率分布为:
qn,k=P(Yn=k), n=1,2,…；k=0,1,2,… (1.7)
则 q1,k=P(Y1=k)=P(X=k)=pk, k=0,1,2,…
qn,0=gYn-1(p0)
qn,k=?k-1t=0 k-iki! pk-i didsi ［dgYn-1(g(s))dg(s)］|s=0 n=2,3,…； k=1,2,…
证: qn,0=gYn(s)|s=0=gYn-1［g(s)］|s=0=gYn-1［g(0)］=gYn-1(p0)
qn,k=1k! dkgYn(s)dsk|s=0=1k! dkgYn-1［g(s)］dsk|s=0
=1k! dk-1dsk-1 ［dgYn-1［g(s)］dg(s) dg(s)ds］|s=0
=1k!?k-1t=0 Cik-1didsi{ dgYn-1［g(s)］dg(s)} dk-idsk-ig(s)|s=0
=1k!?k-1i=0 (k-1)!(k-i-1)!(k-i)!pk-1 didsi{ dgYn-1［g(s)］dg(s)} |s=0
=?k-1t=0 k-iki!pk-1 didsi{ dgYn-1［g(s)］dg(s)} |s=0
容易注意到,当n,k较大时, qn,k虽然均可由gYn(s)通过得到,但其计算工作量却较大。特别地,
pk=P(X=k)=P(Y1=k)=q1,k=［m(t)］kk!e-m(t) (k=0,1,2…)时,有
q2,0=gY1(s)|s=0=e-m(t)［1-g(s)］|s=0=e-m(t)［1-g(0)］=e-m(t)［1-p0］
q2,1= dg［g(s)］ds |s=0= dds［e-m(t)［1-g(s)］］ |s=0
=m(t)g′(s)e-m(t)［1-g(s)］|s=0=m(t)p1e-m(t)(1-p0)
q2,k+1= 1(k+1)! dk=1dsk=1{e-m(t)［1-g(s)］］} |s=0
= 1(k+1)! dkdsk{m(t)g′(s)e-m(t)［1-g(s)］}|s=0
= m(t)(k+1)!?ki=0 Cikg(i+1)(s){ e-m(t)［1-g(s)］}(k-i)|s=0
= m(t)(k+1)!?ki=0 k!i!(k-i)!(i+1)!pi+1(k-i)!q2,k-i
=?kt=0i+1k+1 m(t)pi+1q2,k-i k=1,2,…
因gYn(s)=g［gYn-1(s)］={ e-m(t)［1-gYn-1(s)］
故qn,k+1= 1(k+1)! dk+1dsk+1{ g［gYn-1(s)］}|s=0
=?ki=0 i+1k+1m(t)qn-1,i+1qn-1,k-i
5 Yn 的均值函数与方差函数
定理3: 在高致病性传染病诊治过程中,设E(X)=μ,D(X)=σ2,则
E(Yn+1)=μE(Yn) (1.8)
D(Yn)=μ2D(Yn)+σ2E(Yn) (1.9)
证: E(Yn+1)=dgYn+1(s)ds|s=1
=dgYn［g(s)］dg(s)·dg(s)ds|s=1
=g′Yn［g(1)］g′(1)=g′Yn(1)g′(1)=E(Yn)μ
D(Yn+1)=d2gYn+1(s)ds2|s=1+dgYn+1(s)ds|s=1-［dgYn+1(s)ds|s=1］2
=dds{ dgYn［g(s)］dg(s)·dg(s)ds}|s=1+μE(Yn)-［μE(Yn)］2
={d2gYn［g(s)］dg2(s) ［dg(s)ds］2+ dgYn［g(s)］dg(s) d2g(s)ds2}|s=1+
μE(Yn)-［μE(Yn)］2
=g″Yn［g(1)］［g′(1)］2+g′Yn［g(1)］g″(1)］+μE(Yn)-［μE(Yn)］2
=g″Yn［g′(1)］2+g′Yn(1)g″(1)+μE(Yn)-［μE(Yn)］2
=［E(Y2n)-E(Yn)］μ2+E(Yn)［E(X2)-μ］+μE(Yn)-
［μE(Yn)］2
=μ2{E(Y2n)-［E(Yn)］2}+E(Yn)［E(X2)-μ2］
=μ2D(Yn)+E(Yn)σ2
6 高致病性传染病患者“消失”的概率
由于象非典型肺炎等一类高致病性传染病疫情一旦发生，将严重危害人类生存安全。因此，尽快控制住突如其来的象非典型肺炎、禽流感一类高致病性传染病疫情,进而消灭这类高致病性传染病,这是世界各族人民都期盼着看到的现实,而实现这个现实的可能性大小,又是我们需要知道并加以控制转化的。
由于一个高致病性传染病患者在其一经发现即刻无条件严格隔离诊治过程中,因多方面的原因可能产生、也可能不产生后代高致病性传染病患者,他们经隔离诊治可能因痊愈出院而“消失”,也可能因死亡而消失,我们感兴趣的是一个高致病性传染病患者及其所产生的高致病性传染病患者群体将在第代或在第代高致病性传染病患者之前“消失”的概率。根据前述讨论易知,这个概率就是:
qn,0=P(Yn=0)=gYn(s)|s=0=gYn-1［g(s)］|s=0 (1.10)
若p0=0,则由(1.10),有
qn,0=gYn-1［g(s)］|s=0=gYn-1［g(0)］=gYn-1(p0)=gYn-1(0)=g(0)=p0=0
这表明,一个高致病性传染病患者所产生的高致病性传染病患者群体将永不消失而长存下去。
若p0=1,则由(1.10),有
qn,0=gYn-1［g(s)］|s=0=gYn-1(p0)=gYn-1(1)=1=g(1)=q1,0
这表明,一个高致病性传染病患者并不产生后代高致病性传染病患者群体。
若0
g′(s)=?∞k=1kpksk-1>0, g″(s)=?∞k=2k(k-1)pksk-2>0 (1.11)
故g(s)是一个在区间［0,1］上的严增的向上凹函数,且
qn,0=gYn(0)
于是, {qn,0}是一个严增有界数列,从而{qn,0}收敛,设limn→∞qn,0=q
又因qn+1,0=gYn+1(0)=g［gYn(0)］=g(qn,0) (1.13)
故对上式两边取n→+∞时的极限,得
q=g(q)
且由 (1.11)及(1.12)知: q=limn→∞qn,0是方程x=g(x)的最小正根。
下面,我们进一步转向考虑第n代高致病性传染病患者消失的概率qn,0(n=1,2,…)的极限分布q=g(q)的性质。
性质1： 若p0+p1≤1 则g(q)=q=1
事实上,若p0+p1=1,即第0代高致病性传染病患者仅产生不超过一个高致病性传染病患者,则这时Y1的概率生成函数或母函数为:g(s)=p0+(1-p0)s
于是,当0
g(q)=q=1
这说明第1代的不超过一个高致病性传染病患者将趋向于消失。
若p0+p1<1,第0代高致病性传染病患者不止产生一个高致病性传染病患者,令
f(s)=g(x)-x,x∈［0,1］,则f(1)=g(1)-1=1-1=0
这表明曲线y=g(s)与直线y=s亦有其一那样的一个交点(1,1),从而有g(q)=q=1，这表示这时第n代高致病性传染病患者最终亦将趋向于消失。
性质2： 当g′(1)=E(X)≤1时,亦有g(q)=q=1
而当g′(1)=E(X)>1时,存在唯一根q=q0∈(0,1),使g(q0)=q0
事实上,因对?x∈(0,1),有
f′(x)=g′(x)-1, f″(x)=g″(x)>0
故对?x∈(0,1),当g′(1)=E(X)≤1时,有
f′(1)=g′(1)-1≤0, f″(x)>0
于是, f(x)在点x=1的左邻城(ε,1)(0<ε<1)内单减,向上凹,从而对?x∈(ε,1)有
f(x)=g(x)-x≥f(1)=g(1)-1=1-1=0
又f(0)=g(0)=p0>0,故g(q)=q=1
这表明: g′(1)=E(X)≤1时,第n代高致病性传染病患者最终将趋向于消失。
又当g′(1)=E(X)>1时,有
f′(1)=g′(1)-1>0, f″(x)=g″(x)>0,x∈(0,1)
于是,f(x)在点x=1的左邻域(ε,1)(0<ε<1)内严增,向上凹从而对?x∈(ε,1),有
f(x)=g(x)-x
又 f(0)=g(0)=p0>0
故由严格单调性定理及零点定理即知:存在唯一实根q=q0∈(0,x),使
g(q0)=q0
这表明:当g′(1)=E(X)>1时,第n代高致病性传染病患者消失的概率将趋向于数q0∈(0,1)。
7 结语——基于高致病性传染病疫情应持的应对之策
从客观现实上看，进入本世纪以来，象非典型肺炎等一类高致病性传染病疫情在世界范围内时有发生，严重威胁着人类生存安全；从主观愿望上讲，面对这一人类生存安全危机，人们无不希望尽快控制住这一高致病性传染病疫情，进而消灭这一高致病性传染病，而从现行“一经发现这一高致病性传染病患者，即刻无条件严格隔离诊治”过程的统计性质看，人们的这一主观愿望是完全可以实现的，并且基于高致病性传染病疫情应持的科学应对之策是：
首先，切实加强对高致病性传染病的全民科学防治工作，努力使p0值增大，以致尽力实现p0=1。如此，第0代高致病性传染病患者并不产生新的高致病性传染病患者，而且其自身必然趋于“消失”；
其次，一旦0
同理，一旦p0+p1<1发生，就要努力控制p2值，并促使其增大，以致于尽力实现p0+p1+p2=1而避免p0+p1+p2<1。如此，第n代高致病性传染病患者将趋向于“消失”；如此继续下去。
此外，还可考虑把E(X)作为控制指标，这时，我们的总的努力方向和目标则是严控E(X)值，努力促使其尽可能减小，以致最终完全实现E(X)≤1而避免出现E(X)>1。如此，第n代高致病性传染病患者最终将趋向于“消失”。
【】
1 蒋庆琅，著.方积乾，译.随机过程原理与生命科学模型.上海翻译出版公司, 1987.
2 Feller.W. An Introduction to Probability Theory cond its Applications. Wiley,New York.
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4 Neyman.J. and Med E.U.Soctt. A stochastic model of epidemics,Stochastic Models in Medicine and Biology.
5 Harris.T.E. The Trheory of Branching Processes. Springer Verlay,Berlin.
