状态空间建筑热模型的降维

DIMENSION REDUCTION OF STATE SPACE BUILDING MODEL

1 引言
　　状态空间建筑建筑热模型[1]采有控制论中"状态空间"的概念，对多个房间的建筑物的热过程列写动态平衡方程，其中包括各围护结构内部的导热，各表面与空气之间的对流换热，各表面之间的长波辐射，各房间之间的空气流动以及室内外遮阳等过程的细致描述。对于一个建筑物的动态热过程，此模型表达为
　　 　　　　　　　　　　（1）
　　式中，T为建筑物各围护结构表面及其内部节点和空气节点的温度构成的向量，W为室外气象参数（空气温度、太阳辐射等）和室内热源等扰量构成的向量，C是热容阵，A是热导阵，B是边界阵，它们都取决于建筑结构热物性， 表示T对时间τ的导数。
　　某个房间的空气温度可以写成：
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(2)
　　式中m为热扰量数，n为状态空间维数，{φ_ij}和{λ_i}分别是由矩阵A、B和C导出的系数向量序列和系数序列。利用（2）式可以很好地模拟室温的动态过程，这已被子BTP程序[3]有用，并在实用中得到验证。
　　在描述建筑物动态热过程的诸多方法中，状态空间能灵活方便地处理多个房间多个表面之间的耦合关系，各种热边界条件和各种热扰量。而反应系数法不能考虑各个表面之间的长波辐射，谐波反应法在计算时必须先对各种热扰量进行Fourier 分解。另外，状态空间法可以取任意的模拟时间步长，大到1小时，小到几秒钟表，而有限差分法由于受算法稳定性的限制只能限较小的时间步长。但是状态空间法为保证模拟精度，单个房间的热模型要求的维数一般不低于30，房间多时，维数不更大，因此要花不少CPU时间去完成（2）式的计算。为此，笔者在Cools等从的降维理论[2]的基础上，提出一种实用可行的状态空间建筑热模型的降维方法，并用BTP程序模拟实际气候条件下的典型结构房间在建筑热模型降维前后的室温过程。结果表明，7维建筑热模型的模拟结果与39维的模拟结果相当一致，室温最大误差不大于0.1℃。因此，降维的状态空间建筑热模型可以广泛应用于建筑热过程的研究。

2 状态空间建筑热模型的降维过程
　　 状态空间建筑热模型的降维实际上是先找出状态空间中的主要节点，然后把其它节点集结到这些主要节点上，得到降维后的状态空间建筑热模型。
　　　　　　　　　　　　　 （3）
　　另一方面，各种热扰量对各节点的作用强度不同，如取W_j（τ）为Dirac函数，则（2）式变成
　　　　　　　　　　　　　　　（4）
　　于是，各节点对第j种热扰量的响应为
　　 　　　　　　　　　　　　（5）
　　经归功一化处理，得到各种热扰量对各节点的综合作用强度为
　　　　　　　　　　 （6）
　　其中，
　　　　　　　　　　　　　（7）
　　因此，在模拟建筑热过程时，只要选取综合响应强度大于δ（控制精度的常数，一般可取百分之几）的节点作为主要节点。即选j₁ ，j₂，…，j_q，使
　　　　　　　　　E_i≥δ，i= j₁ ，j₂，…，j_q (8)
　　综合考虑以上两方面，取{ j₁ ，j₂，…，j_q}与{j₁ ，j₂，…，j_q}的交集作为主要节点，记它们相应的为λ_i为λ^*₁ ，λ^*₂，…，λ^*_k,下面的工作是把其它节点集结到这些节点，也就是寻找{φ_ij}，使
　　 　　　　　（9）
　　最小，经类似最小二乘法的推导，从（9）式可得到
　　 　　　　　　　　（10）
　　式中，
　　　 　　　　　　
　　
　　
　　… … … … … … … … … …
　　　
　　
　　通过以上分析，可以把n 维建筑热模型降到k维，且k＜＜n。