加强思想方法的渗透是实施数学教学创新的重要途径
来源：岁月联盟
时间：2010-08-18
关键词：思想方法；渗透；数学创新教育
要想强化数学思维，提高学生的数学素养，用数学知识来解决实际问题，全面提升学生的综合素质，核心就是要提高学生对数学思想方法的认识、理解和掌握。
一、明确含义，充分挖掘
所谓数学方法，就是解决数学问题的程序和策略，即解决具体数学问题所采用的方式、途径和手段，是学习数学知识、运用数学知识、解决实际问题的具体行为。所谓数学思想，是对数学知识、方法、的本质认识，是比数学方法更抽象、更概括、更本质的认识。所以，数学知识是数学的灵魂，是数学方法的理论基础。
数学思想、方法和具体的数学知识汇成了数学结构系统中的两条“河流”，二者既有联系又有区别。具体的数学知识是数学的外显形式，易于发现，是一条“明河流”，任何一个数学分支无不是以它来构筑自己的“躯体”的。数学思想方法则是数学的内在形式，是获取知识、发展思维能力的动力工具，是一条具有潜在价值的“内河流”，把握了它就等于找到了思维教育的突破口。我们要想实施数学创新教育，首先就应把握数学教材中的重要的数学思想和方法。
无论是什么版本的小学数学教材还是中学数学教材，从小学一年级开始，在以阶段呈现数学知识和技能的同时，都蕴涵着大量的数学思想和方法。中小学数学教材中包含的数学思想主要有符号思想、对应思想(含量对应、量率对应、数形对应、函数对应)、化归思想、转换思想、结构思想、模型思想、极限思想、统计思想、集合思想、分类讨论思想、整体思想、分解组合思想、运用变化思想、方程思想、形数结合思想、类比的思想、递推的思想、唯物辩证思想和数学美的思想(对称与和谐、简洁与明快、严谨与统一、奇异与突变)等。主要的数学方法有观察方法、实验法、抽象概括方法、归纳演绎和类比方法、假设方法、图示方法、反证法、分析综合法、同一证、MM方法、化归方法、公理化方法，以及非逻辑方法，如数学猜想等等。
例如，《圆》这一章，由于圆的知识具有综合性，因而数学思想和数学方法就体现得更为充分，蕴涵的主要数学思想和数学方法如下：
主要的数学思想：分类讨论的思想、转化的思想、整体思想、分解组合思想、运动思想、方程思想、形数结合思想。
主要的数学方法：反证法、直接证法与间接证法、分析法、综合法、分析综合法(两头凑法)。
二、了解功能，制定目标
重视数学思想方法的教学和训练，笔者认为有以下功能：
1.有利于发展学生的认知能力
一切数学概念、公式、定理、法则等均可视为数学模型。在数学教学中从现实的原型出发，运用实验、操作、观察的方法，通过比较、分析与综合、抽象与概括等基本思维方法，并用数学语言表述思维过程，从而使学生获得准确的数学模型，以发展学生的认知能力。例如数学“8加几的加法”，师生以计算“盒子里有8个苹果，盒子外有5个苹果，一共有几个苹果?”为原型，经过操作、观察、分析与综合、概括，得出了如下图的数学模型：
并用数学语言表述思维过程，即“看到8，想到2，把5分成2和3，8加2等于10，10加3等于13”。当学生掌握了这种“凑十法”的思维模型以后，就可以迁移到“9加几”、“7加几”、“6加几”等，大大地发展了学生学习数学的认知能力，提高了学习的效率。
2.有利于形成学生的思维结构
在知识发生、形成过程中揭示数学思想方法，可以训练学生的数学思维，促进学生思维结构的形成。例如，用运动变化思想来理解知识，可借助于教具，通过演示和实验，向学生展示一个生动直观的形象，使学生在学习时看得见、摸得着，又动手又动脑，从而化抽象思维为具体的形象思维，这就降低了难度，使学生更容易理解。如画两圆公切线的教学，学生很难独立领会到画法背后隐含着的数学方法：特殊化法和重要数学思想：化归思想。这就需要教师在引导的基础上给予充分的揭示，提高学生的思维水平。实际上画法就产生于特殊化过程中，想象小圆逐步缩小至一点，而大圆也以相同的“速率”缩小，这时原问题就化归为自圆外一点画圆的切线这一已知问题，实现了由未知向已知、由复杂向简单的转化。深刻揭示这一画法的本质，对于深化学生的思维，促进学生思维结构的形成有重要意义。
3.有利于促进学生形成良好的认知结构
皮亚杰认为：“全部数学都可以按照结构的建构来考虑。”所以，我们应结合数学教学，将数学内容转化为有数学科学顺序的知识结构。在设计教学过程中，将知识结构逐渐转化为学生头脑中的认知结构，而数学思想方法是构建认知结构的理论武器。例如，我们在教学平面图形求面积的公式中，就可以以化归思想、转换思想等为理论武器，实现长方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善学生的认知结构。
4.有利于开发学生的大脑潜能
脑科学和心研究表明，人脑的左半脑主管抽象思维，右半脑主管形象思维。左右半脑既有分工，又有合作，它们相辅相成、相得益彰，从而使形象思维和抽象思维得以协调发展。鉴于中小学生形象思维占优势和逐步向抽象思维发展的特点，教材应以图文并茂、数形结合的形式展示数学知识的形成过程和数学知识的结构，让学生在用多种感觉器官充分感知形成表象的基础上进行想象、联想(即形象思维)和条分缕析的思维(抽象思维)，并以数学符号表示认知成果，即数学知识。
5.有利于提高学生的审美情趣
一方面，数学作为一门科学，它的主要目的是为科学和技术科学服务的，这个目的实际上正是数学的起源，常常成为问题的源泉；另一方面，数学也是一门，它主要的是思维的创造，靠才智取得发展，很多进展出自于人类脑海深处，只有美学标准才是最终的鉴定者。数学的美主要体现在以下几个方面：
(1)统一性。追求统一性是数学的显著特征。从数的抽象、点线面的抽象等，都折射出数学的统一性。随着集合论的确立、公理化运动的兴起，数学的统一性提高到了空前的高度。数学的统一性源于对事物本质的深刻认识和正确萃取。
(2)简洁性。简洁性也是数学所追求的目标之一。数学的语言是最简洁的语言，数学用最简洁的方式揭示自然界的客观规律，这正是数学最迷人的所在。数学定理的证明的化简往往伴随着数学的发展。经常是这样的，当我们注入了新的观点或创造了新的数学方法，甚至开创了新的方向或数学分支以后，一个定理的原本复杂的证明被化简了，有时变得格外的简单，几乎成为显而易见的事实。定理证明的化简既是新数学理论的一个精彩的应用，又为新数学理论的诞生举行了奠基礼。
(3)对称美。对称就是美，对称的研究也是数学研究的一个重要课题。数学的对称美包含了更加广泛的外延，既包含轴对称、中心对称这些能看得见的有形的对称，也包含了那种经过某个变换能够保持不变的隐形对称，比如，对称函数。
(4)奇异性。所谓奇异，是指所得出的结果或有关的发展出人意料，从而引起人们极大的惊奇和诧异，甚至叹服。
所以，在实施数学创新教育的过程中，我们要从数学美的高度来审视数学，挖掘数学史中的美学素材，展现数学美的艺术，享受数学美给大家带来的欢愉，对学生进行数学审美教育，提高大家的审美情趣，强化对学生审美意识的培养，同时也可以提高学生学习数学的兴趣。还可以以美启真，培养学生的创造性思维能力。
6.有利于发展学生的非智力因素
学生在数学学习活动中，不仅需要原有数学认知结构、思维发展水平和数学能力等智力因素的直接参与，对输入的数学材料进行加工，而且需要学习动机、情感、意志等非认知因素的启动、加强维持和调节，这样才能使数学学习活动顺利开展。智力因素与非智力因素密切联系，相互影响，相互促进，协调发展，促使学习任务的顺利完成。通过对数学思想方法的训练和学习，可以培养学生学习数学的热情，实事求是、坚持真理的科学态度，顽强的意志和坚忍不拔的性格等，大大地促进非智力因素水平的提高，以形成优良的个性品质。
7.有利于学生的终身
数学知识属于知识范畴，而数学思想方法则属于科学方法的范畴。
如果说，科学知识、尤其是一些专门的高深的科学知识，与不同职业人之间的关系疏密有所不同的话，那么，科学方法、尤其是数学思想方法，则与所有的人都有着密切的关系。与科学知识相比，科学方法能从更深的层次上反映一个人的科学素质。
更为重要的是，通过对学生加强数学思想方法的训练，可以培养学生的科学精神。科学精神主要包括理性精神、怀疑精神和求实精神。理性，是科学的基础；怀疑，是科学的手段；求实，是科学的目的。与科学知识、科学方法相比，科学精神能从更高的层次上反映一个人的科学素质。只有具备了科学精神，才会有对科学知识的渴求和兴趣，处处留心，点滴积累，久而久之，就会掌握许多科学知识；只有具备了科学精神，才会有对科学方法的重视和探索，反复实验，认真，久而久之，就会掌握更多的科学方法，然后反过来又去发现更多的科学知识。从这个意义上来说，科学精神是科学知识和科学方法之母。所以，在实施数学创新中，在对学生加强数学思想方法的训练过程中，尤其要注意培植学生的科学精神，使之融入学生的价值观念、思维方式和行为方式之中。
8.有利于培养学生的创新能力和创新意识
数学思想方法是数学的本质和精髓，起着建构数学知识的作用。学生在数学知识学习基础上逐步领悟思想方法，可加深对数学知识的理解，使头脑中的知识富有包摄性，有利于发展学生的智能，培养学生的创新能力。
例如，类比是一种常见的也是一种非常重要的数学思维方法。无论在小学数学教材中还是在初中的数学内容中都蕴涵着大量的类比法。像一元一次不等式和一元一次不等式组与一元一次方程和一元一次方程组的比较；分式的性质和运算准则与分数的性质和运算法则的类比；应用类比的方法来类比有理数，建立起实数的相反数与绝对值的概念，这里的类比用于知识的概括等等。所谓类比，就是通过两个或两类对象的不同现象与内部属性关系的比较，找出它们在某些属性或关系方面的类似点。类比法有下列一些功能：从已知探索未知的有效手段；提出科学假设的重要工具；进行科学预测的重要方法；进行模拟实验的逻辑基础；设计新产品的重要依据；移植、渗透方法及促进科学走向综合的基础；开辟新科学领域的重要桥梁。如在建立量子力学的过程中，通过类比法，不仅揭示了微观客体的波粒二象性，而且建立了反映微观客体基本运动的薛定谔方程。
类比法在解决某一问题时，还具有启发思路的作用。类比法也是引入新知识的好方法，它能使学生对旧知识起到复习、巩固的作用，也能对新知识加深理解。由此可见，在数学创新教育中，强化对数学思想方法的训练，无疑可以培养学生的创新能力和创新精神。
三、强化渗透，提高素质
目前中小学数学教学存在一些弊病，如重技巧轻思想，重枝节轻整体，给学生一大堆模式去记，这主要是应试教育造成的。要想实现从应试教育到素质教育的转轨，全面提高学生的素质，我们在提高学生数学知识水平的同时，要重视数学思想方法的教学，使学生形成一定的数学理论认识和数学思维方法。要注意数学知识的实际应用，既要注意用实例说明数学的实际应用，更要重视用数学思想方法从实际问题中建立数学模型，解决实际问题。
1.在知识发展过程中挖掘和渗透
数学思想方法与数学知识的辩证统一性，决定了它们在教学中的有机结合，数学思想方法的教学总要依附于基础知识的教学，而数学知识的教学又离不开数学思想方法。所以，我们要认真分析教材，理清知识结构和思想方法体系，把数学思想方法像数学知识一样归纳到教学目的、教材分析和教学方法中去，在教学过程中作为教学的指导思想，通过教学过程向学生灌输和渗透。概念形成的过程、问题发现的过程、问题思考的过程、规律揭示的过程、结论推导的过程及结论推广的过程等，都体现了某种数学思想和方法，并受某种数学思想和方法的指导，忽视了这些过程就意味着失去了向学生传播数学思想方法的机会。因此，我们要重视这些知识发生过程的设计，加强对数学思想方法的提炼和渗透。
2.在练习过程中提炼和归纳
数学练习的过程，其实质是数学命题不断交换和数学方法反复运用的过程。练习教学不能仅满足于解题过程的完成或单纯追求结果的对与错，而要通过练习教学过程深挖、提炼和归纳总结解题方法，抓住实质，揭示规律，上升到数学思想方法的高度，从更高层次上发挥解每一个数学问题的作用。
不变量思想方法是中小学数学中的一种比较重要的思想方法。关键是要抓住不变的量，抓住了它，困难就会迎刃而解。那么，怎样去抓住不变量而利用不变量的方法来解题呢?这就需要我们老师在解题教学的过程中多提炼、多归纳、多总结、多应用。
3.在应用中概括和深化
在中小学的数学教学中要注意引导学生联系生产和日常生活中的实际问题，试着用数学思想方法解决，逐步提高学生用数学思想方法解决实际问题的能力。特别是要注意数学思想方法与市场的结合点及渗透点，比如数学中的社会模型：生产增长、收入增长、人口增长、机器折旧、利息等；统计模型：市场预测、市场供应、市场统计、投入产出、生产试验与设计等；数学初等化、普及化模型：统筹法、优选法、线性规划、质量评估等。通过这些应用，使数学思想方法在同学们脑海中进一步深化。
实践证明，在数学教学中，结合教学内容，有机地渗透数学思想方法，确是提高学生创新能力和创新意识的重要手段之一。
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