数形结合在数学中的妙用

        数形结合思想是数学中的一种非常重要的数学思想，在解题中运用数形结合，常常可以优化解题思路，简化解题过程。但问题在解题过程中如何进行数形结合呢？即怎样催化数与形的结合呢？最好的方法就是运用数形结合的催化剂——联想，运用联想不但可以催化数与形的结合，而且可以培养我们的创新思维和创新能力。
        一、数形结合在函数中的妙用
        在函数教学中，函数及其图象为数形结合的教学开辟了广阔的天地。函数的图象是从“形”的角度反映变量之间的变化，利用图象的直观性有助于题意的理解、性质的讨论、思路的探求和结果的验证。如二次函数、指数函数和对数函数等等，根据函数图象讨论函数的性质，借助函数图象的直观解决实际问题，使学生学得轻松有趣。既可以提高学生的识记能力，又可以加深对函数的图象和性质的理解，使数与形在学生的头脑中密切地结合起来。如：
        例1：判断下式中x的正负2x=1.2   
        分析：考察指数函数y=2x，因 a=2>1，在定义域(-∞，+∞)上是增函数，故画出草图，从图中可知，该函数在区间(0，+∞)上有y>1。
        因此，从2x=1.2>1可知x>0。
        例2：由函数与函数 y = 2 的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_______．
        分析：本题不能直接求解（高中阶段没有此类图形的面积公式），初看好象是偏题、怪题，但如果借助于图形的对称性并利用割补法，则可将之转化为一个等积矩形的面积问题．学生可直接看出答案。
        解题回顾：本题利用了数形结合方法面积．图象的对称性可以使棘手的问题简单化，转化为常规的问题，体现了数学中把未知转化为已知的思想方法。
        二、数形结合在复数中的妙用
        作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，y引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形的直观来解。解与复数有关的最值问题时，利用复数的几何色彩，将使解题过程更为巧妙。

        三、数形结合在不等式中的妙用
        某些看似单纯的数量关系的代数问题，如果能注意到它所包含的几何意义，或者设计出一个与之相关的几何模型则可能找到新颖别致的解法，借助“形”使我们对问题本身不但有直观的分析，且能有更深刻和实质的了解。   
        例4：不等式的解集是            
        分析：如果按照一般的常规解法，该题较繁杂，若转化为图形处理，以形辅数就方便多了。可令，y2=x+2，在同一坐标系中分别作出它们的函数图象。已知原不等式有意义的x值为-2≤x≤2，从图象中观察可见，使y1>y2成立的取值范围是(-2,0)。
        四、数形结合在证明中的应用
        例5: 设a,b,c为ΔABC的三边的长，求证
        分析：用证明不等式的一般方法证明结论较为繁琐．由左边诸分母的结构形式，可联想到构造的内切圆，利用图就可以将左边化简，于是原不等式可证．
        证明：设⊙O为ΔABC的内切圆，则有
        
        于是结论得证。
        例6：设D为ΔABC边上一点，而BD=2DC，
        求证：AB2+2AC2=3AD2+6CD2
        分析：若单从几何角度看，已知条件和论证的目标相距较远，不易下手。如果我们建立如图所示的直角坐标系，使数形结合，综合应用解决。可设四点的坐标分别是A(x,y)，B(-2a,0)，C(a,0)，D(0,0)，则有：        |AB|2+2|AC|2=[(x+2a)2+y2]+2[(x-a)2+y2]=3(x2+y2)+6a2
        3|AD|2+6|CD|2=3(x2+y2)+6a2
        即可证得：|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2 
        综上所述可见，数形结合是学好数学的一把钥匙。它可将一些看似复杂的问题变得非常简单，也常使一些难于下手的问题迎刃而解。利用图形的直观性解题，巧妙地简化了大量繁杂的和逻辑推理过程，构思新颖，解题简洁。其方法的丰富内涵对培养与学生的思维能力、解题能力极为有用，也有助于增强学生的数素养，因而这种方法在数学教学中应给予足够重视。