高观点下的中学数学的探究性学习能力的培养

　　【摘 要】为了迎接挑战，就要立足一线教学进行行动研究，更新原有的认知结构，提高教学能力。希望通过开展高观点下的中学数学的探究性学习能力的培养研究，能够用高等数学的观点去解剖初等数学的基本概念和问题，揭示出蕴含在数学知识中的数学思想、数学方法，了解它们形成、的以及与数学发展的内在联系，帮助学生去分析、体会教材。让学生在自主学习中探究，在质疑问难中探究，在问题解决中探究。
　　【关键词】高观点 探究性 数学思想
　　
　　一、概念界定
　　
　　1.探究性学习的内涵
　　数学探究性学习就是学生在一定的数学学习情境中，在教师的指导下，发现问题，并通过观察、分析、类比、归纳、猜想、证明等一系列数学思维活动；或通过调查研究，动手操作、表达与交流等数学实践活动，解决问题，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。
　　2.高观点的内涵
　　本文所讲的“高观点”狭义是指高等数学和数学的思想方法和观点，广义是指一切数学知识、学知识、心知识、数学教育的基本理论，如弗赖登塔尔的数学教育理论、波利亚的解题理论、建构主义的数学教育理论等等。
　　
　　二、中学数学和高等数学的关系
　　
　　中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多（不是全部）概念和理论的原型和特例所在。因此，从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键。从而高屋建瓴地处理中学教材，用高等数学的思想方法指导中学数学教学，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力，大有裨益。
　　比如：连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值、最小值。用原有的高中数学知识在解决高次函数时，就会显得捉襟见肘，力不从心。但是利用导数的知识和方法，就显得得心应手，从容不迫。
　　总之，要力求将高等数学思想全面渗透入中学数学，要在高等数学概念、理论的通俗化，与中学数学概念、理论的抽象化上，寻找高等数学与中学数学的结合点。
　　
　　三、高观点下的中学数学的探究性学习能力的培养策略
　　
　　1.课中要深入钻研教材和参阅有关材料，要善于从具体的数学知识中挖掘和提炼出数学思想方法，要预先把全书，每单元章节所蕴涵的数学思想方法及它们之间的联系搞明确具体，然后统筹安排，有目的、有计划和有要求地进行数学思想方法的教学。教师要抓准知识与思想方法的结合点。
　　2.据每一教学内容的类型和特点去设计贯彻数学思想方法教学的途径。因为数学思想方法蕴涵在数学知识的产生、内涵和发展之中，故一般都可采用以分析解决问题为主线的启发式和发展式的教学方法，具体来说，要注意引导学生抓住：（1）展示或分析过程，如概念的形成过程、定理与法则的发现过程、公式的推导过程、证明思路和解决问题方法的探索过程等；（2）揭示本质，指揭示概念、定理、公式或方法的本质。例如极限方法实质是一种以运动的、相互联系和量变引起质变的辩证观点去分析和解决问题的数学方法；（3）寻找关联，指要搞清相近概念和定理之间的联系与区别；（4）评论与提出问题，指通过对重要的概念、定理或解法等进行一分为二的评论，从而提出有待进一步研究的新问题。一般，在展现概念等知识发生过程中要渗透数学思想方法，在讲解定理、公式证明或推导思维教学活动过程中要揭示数学思想方法，而在应用和问题解决的探索过程中则要激活数学思想方法。此外，要充分用数学思想这个锐利的武器去突出讲透重点、突破化解难点、分清疑点和提出改进局限点。
　　3.课和复习小结课是进行数学思想方法教学的良好时机和阵地，比如绪论课一般都要讲述知识产生的背景，发展简史，研究对象、基本和主要的问题、研究的思想方法和与其它各章知识的联系等。据此，教师可抓准时机在绪论中直接简介有关的数学思想方法，而在复习课中则可顺势概括本章用到的数学思想方法。故教师应充分备好和讲好各章的绪论与复习课。
　　4.握数学思想方法必须有一个反复认识、训练和运用过程。为此，在每章节的课外练习以及期中与期末中都应有一定数量的数学思想方法题目。此外，还要指导学生做好各章或单元的小结，阅读有关数学思想方法的参考书或举办专题报告会。
　　5.要不断提高自身的素质，加强对数学史和数学方法论的学习与研究，积极参与数学的教改探索与实践，提高学术水平、教学水平和数学方法论的素养。 　　四、案例分析
　　
　　数学的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力和本领，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要的反映在数学探究能力的培养。
　　例1.已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=－1。
　　①试求常数a、b、c的值；
　　②试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由。
　　1.设置问题情境
　　教师：你能否将该命题进行变式?例如改变其中的条件，探求其结论。
　　2.学生讨论、思考
　　安排同桌两个同学为一组进行讨论，给学生以足够的思考探索时间，教师不时参与各小组的讨论，适时加以点拨。
　　“高观点”强调数学思想方法的渗透，把思想的形成过程贯穿于教学。应用“高观点”解决问题之后的愉快情绪体验，能让学生明白创新并不是一件非常难的事而不可企及；教师经常地将初等数学问题深入拓展到高等数学范围，更能起到创新的示范作用。
　　3.成果展示，师生评价
　　解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c
　　∵x=±1是函数f（x）的极值点，
　　∴x=±1是方程f′（x）=0，即3ax²+2bx+c=0的两根。
　　f′（1）=0即3a+2b+c=0①
　　f′（－1）=0即3a-2b+c=0②
　　由根与系数的关系，得
　　又f（1）=－1，∴a+b+c=－1，③
　　由①②③解得a=1；b=0；c=－1。
　　（2）f（x）=x³－x，
　　∴f′（x）=x²－1=（x－1）（x+1）
　　当x＜－1或x＞1时，f′（x）＞0
　　当－1＜x＜1时，f′（x）＜0
　　∴函数f（x）在（－∞，－1）和（1，+∞）上是增函数，在（－1，1）上是减函数。
　　∴当x=－1时，函数取得极大值f（－1）=1，
　　当x=1时，函数取得极小值f（1）=－1。
　　这样，我们就很容易地解决了这个一元三次函数的极值问题。
　　4.意义建构，纳入知识体系
　　利用导数求函数的极大（小）值，求函数在连续区间［a，b］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点。本例题主要是指导学生对这种方法的应用。
　　教师这种探究教学、研究问题的习惯思维感染了学生，培养了学生的探究性学习能力。我们教学确实要关注过程，关注探究，引导学生经历“再发现，再创造”的过程。
　　
　　：
　　[1]张劲松.论“高观点下的初等数学”及其在新课标中的体现.数学教学研究，2008，04.
　　[2]常卫国.高中数学教学中的抽象函数.数学教学通讯，2006，07.
　　[3]王志江.高观点试题与研究性学习——浅析2003年北京卷数学科高题.中学数学， 2003，10