编程之美2.6——精确表达浮点数
问题：
用分数形式来表示小数，以达到精确的计算结果。
解答一：
用于小整数，将无限循环小数0.a1a2...an(b1b2...bm)分为非循环部分和循环部分。
X=((a1a2...an)*(10^m-1)+b1b2...bm)/((10^m-1)*10^n)
[cpp]
#include <iostream>
using namespace std;
long long gcd(long long a, long long b)
{
if (a < b)
{
long long tmp = a;
a = b;
b = tmp;
}
int i, k=0;
while (b!=0)
{
if ((a&1) == 0)
{
if ((b&1) == 0)
{
// a,b均是偶数，f(a,b)=2*f(a>>1,b>>1)
a >>= 1;
b >>= 1;
k++;
}
else
// a为偶数，b为奇数，f(a,b)=f(a>>1,b)
a >>= 1;
}
else
{
if ((b&1) == 0)
// a为奇数，b为偶数，f(a,b)=f(a,b>>1)
b >>= 1;
else
// a,b均是奇数，f(a,b)=f(a-b,b)
a = a-b;
}
if (a < b)
{
long long tmp = a;
a = b;
b = tmp;
}
}
return a << k;
}
int main()
{
long long a=0, b=0, c=0;
// 整数部分c，非循环小数a，循环小数b
scanf("%d.%d(%d)",&c, &a, &b);
if (a==0 && b==0)
cout << c;
else
{
// 分子up，分母down
long long up = c;
long long down = 1;
long long ta = a;
while (ta)
{
down *= 10;
ta /= 10;
}
up = c*down+a;
if (b!=0)
{
long long wb = 1;
long long tb = b;
while (tb)
{
wb *= 10;
tb /= 10;
}
up = up*(wb-1)+b;
down = down*(wb-1);
}
long long fac = gcd(up, down);
cout << up/fac << "/" << down/fac << endl;
}
}
解答二：
用于大整数，定义了大整数类型，以及对应的加减乘除、比较移位运算。
[cpp]
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
// 大整数类型
#define MAXLEN 1000
struct HP {int len, s[MAXLEN];};
void PrintHP(HP x)
{
for (int i=x.len; i>=1; i--)
cout << x.s[i];
}
// 字符串转大整数
void Str2HP(const char *s, HP &x)
{
x.len = strlen(s);
for (int i=1; i<=x.len; i++)
x.s[i] = s[x.len-i] - '0';
if (x.len == 0)
{
x.len = 1;
x.s[1] = 0;
}
}
// 大整数的加法
void Plus(const HP a, const HP b, HP &c)
{
int i; c.s[1] = 0;
// 大整数a,b的加法操作和结果c的进位操作
for (i=1; i<=a.len || i<=b.len || c.s[i]; i++)
{
if (i <= a.len) c.s[i] += a.s[i];
if (i <= b.len) c.s[i] += b.s[i];
c.s[i+1] = c.s[i]/10; c.s[i] %= 10;
}
// 退出循环到原因是c.s[i]==0，所以取前一位
c.len = i-1;
if (c.len == 0) c.len = 1;
}
// 大整数的减法
void Subtract(const HP a, const HP b, HP &c)
{
int i, j;
for (i=1,j=0; i<=a.len; i++)
{
// j表示是否要对高位进行借位
c.s[i] = a.s[i] - j;
if (i <= b.len) c.s[i] -= b.s[i];
if (c.s[i] < 0)
{
// 向高位借位，补10
j = 1;
c.s[i] += 10;
}
else j = 0;
}
c.len = a.len;
while (c.len > 1 && !c.s[c.len]) c.len--;
}
// 大整数的比较
int HPCompare(const HP &x, const HP &y)
{
if (x.len > y.len) return 1;
if (x.len < y.len) return -1;
int i = x.len;
while (i>1 && (x.s[i]==y.s[i])) i--;
return x.s[i] - y.s[i];
}
// 大整数的乘法
void Multi(const HP a, const HP b, HP &c)
{
int i, j;
// 对乘法结果赋初值，以方便之后的+=运算
c.len = a.len + b.len;
for (i=1; i<=c.len; i++) c.s[i] = 0;
for (i=1; i<=a.len; i++)
for (j=1; j<=b.len; j++)
c.s[i+j-1] += a.s[i]*b.s[j];
// 运算结果进位
for (i=1; i<c.len; i++) {c.s[i+1] += c.s[i]/10; c.s[i] %= 10;}
// 最高位继续进位
while (c.s[i]) {c.s[i+1] = c.s[i]/10; c.s[i] %= 10; i++;}
// 确保最高位不为0
while (i>1 && !c.s[i]) i--;
c.len = i;
}
// 大整数的除法
void Divide(const HP a, const HP b, HP &c, HP &d)
{
int i, j;
// 用余数d存被除数a的前i位数据，用来多次减去除数b，以得到商c
d.len = 1; d.s[1] = 0;
for (i=a.len; i>0; i--)
{
if (!(d.len == 1 && d.s[1] == 0))
{
// i没移一位，余数d也移位
for (j=d.len; j>0; j--)
d.s[j+1] = d.s[j];
d.len++;
}
d.s[1] = a.s[i];
c.s[i] = 0;
// 余数d大于除数b时，才可以进行减操作
while ((j=HPCompare(d,b)) >= 0)
{
Subtract(d, b, d);
c.s[i]++;
if (j == 0) break;
}
}
c.len = a.len;
while (c.len > 1 && c.s[c.len] == 0)
c.len--;
}
// 十进位右移
void RightShift(HP &x, int k)
{
for (int i=1; i<=x.len-k; i++)
x.s[i] = x.s[i+k];
x.len -= k;
if(x.len <= 0)
{
x.len = 1;
x.s[1] = 0;
}
}
// 十进位左移
void LeftShift(HP &x, int k)
{
int i;
for (i=x.len; i>=1; i--)
x.s[i+k] = x.s[i];
for (i=k; i>=1; i--)
x.s[i] = 0;
x.len += k;
}
// 求大整数的最大公约数
void GCD(HP a, HP b, HP &c)
{
if (b.len == 1 && b.s[1] == 0)
{
c.len = a.len;
memcpy(c.s, a.s, (a.len+1)*sizeof(int));
}
else
{
HP m, n;
Divide(a, b, m, n);
GCD(b, n, c);
}
}
int main()
{
string str;
string strc, stra, strb;
cin >> str;
int posc = str.find('.');
int posa = str.find('(');
int posb = str.find(')');
strc = str.substr(0, posc);
if (posc < 0)
cout << strc;
else
{
HP a, b, c;
HP tmp; tmp.len = 1; tmp.s[1] = 1;
// 整数部分
Str2HP(strc.c_str(), c);
stra = str.substr(posc+1, posa-posc-1);
// 非循环部分
Str2HP(stra.c_str(), a);
// up分子，down分母
HP up = c, down = tmp;
// 乘以10^|a|
LeftShift(down, stra.size());
LeftShift(up, stra.size());
Plus(up, a, up);
if (posa >= 0)
{
strb = str.substr(posa+1, posb-posa-1);
// 循环部分
Str2HP(strb.c_str(), b);
HP m = tmp;
LeftShift(m, strb.size());
Subtract(m, tmp, m);
// 乘以10^(|b|-1)
Multi(up, m, up);
Plus(up, b, up);
Multi(down, m, down);
}
// 求分子分母的最大公约数
GCD(down, up, tmp);
HP h;
Divide(down, tmp, down, h);
Divide(up, tmp, up, h);
PrintHP(up); cout << "/";
PrintHP(down); cout << endl;
}
}
作者：linyunzju
