编程之美2.8——找符合条件的整数
问题：
任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M(M>1)，使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0。
解法：
由于没有直接的数学方法能帮我们直接得到M的值，所以我们只能进行搜索。由于相对M，乘积N*M具有明显的特征，需要搜索的空间要小很多，所以我们对乘积N*M进行搜索。如果N*M的结果有K位，则要循环2^K次，我们发现K的结果能轻易超过40，所以这个运行时间还是相当长。
同余运算具有等价关系，mod N = i（0<=i<N）构成了N个等价类，将正整数集进行划分。对于每个等价类，我们只需要判断其中最小的元素加上10^K是否能被N整除，这样搜索空间就从2^K次减少到(K-1)*N步，而N的值一般要远远小于M的值。但要O(N)的空间复杂度。
我们可以证明对于任意的N，一定存在M，使得N*M的乘积的十进制表示只有0和1。证明过程见由于无论M还是N*M的位数都相当大，所以我们用大整数表示M和N*M。由于要N个大整数，所以N不能为大整数，即其值最好取一百万以内。
[cpp]
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
// 大整数类型
#define MAXLEN 100
struct HP {int len, s[MAXLEN];};
void PrintHP(const HP &x)
{
for (int i=x.len; i>=1; i--)
cout << x.s[i];
}
// 字符串转大整数
void Str2HP(const char *s, HP &x)
{
x.len = strlen(s);
for (int i=1; i<=x.len; i++)
x.s[i] = s[x.len-i] - '0';
if (x.len == 0)
{
x.len = 1;
x.s[1] = 0;
}
}
// 大整数的加法
void Plus(const HP a, const HP b, HP &c)
{
int i; c.s[1] = 0;
// 大整数a,b的加法操作和结果c的进位操作
for (i=1; i<=a.len || i<=b.len || c.s[i]; i++)
{
if (i <= a.len) c.s[i] += a.s[i];
if (i <= b.len) c.s[i] += b.s[i];
c.s[i+1] = c.s[i]/10; c.s[i] %= 10;
}
// 退出循环到原因是c.s[i]==0，所以取前一位
c.len = i-1;
if (c.len == 0) c.len = 1;
}
// 大整数的减法
void Subtract(const HP a, const HP b, HP &c)
{
int i, j;
for (i=1,j=0; i<=a.len; i++)
{
// j表示是否要对高位进行借位
c.s[i] = a.s[i] - j;
if (i <= b.len) c.s[i] -= b.s[i];
if (c.s[i] < 0)
{
// 向高位借位，补10
j = 1;
c.s[i] += 10;
}
else j = 0;
}
c.len = a.len;
while (c.len > 1 && !c.s[c.len]) c.len--;
}
// 大整数的比较
int HPCompare(const HP &x, const HP &y)
{
if (x.len > y.len) return 1;
if (x.len < y.len) return -1;
int i = x.len;
while (i>1 && (x.s[i]==y.s[i])) i--;
return x.s[i] - y.s[i];
}
// 大整数的乘法
void Multi(const HP a, const HP b, HP &c)
{
int i, j;
// 对乘法结果赋初值，以方便之后的+=运算
c.len = a.len + b.len;
for (i=1; i<=c.len; i++) c.s[i] = 0;
for (i=1; i<=a.len; i++)
for (j=1; j<=b.len; j++)
c.s[i+j-1] += a.s[i]*b.s[j];
// 运算结果进位
for (i=1; i<c.len; i++) {c.s[i+1] += c.s[i]/10; c.s[i] %= 10;}
// 最高位继续进位
while (c.s[i]) {c.s[i+1] = c.s[i]/10; c.s[i] %= 10; i++;}
// 确保最高位不为0
while (i>1 && !c.s[i]) i--;
c.len = i;
}
// 大整数的除法
void Divide(const HP a, const HP b, HP &c, HP &d)
{
int i, j;
// 用余数d存被除数a的前i位数据，用来多次减去除数b，以得到商c
d.len = 1; d.s[1] = 0;
for (i=a.len; i>0; i--)
{
if (!(d.len == 1 && d.s[1] == 0))
{
// i没移一位，余数d也移位
for (j=d.len; j>0; j--)
d.s[j+1] = d.s[j];
d.len++;
}
d.s[1] = a.s[i];
c.s[i] = 0;
// 余数d大于除数b时，才可以进行减操作
while ((j=HPCompare(d,b)) >= 0)
{
Subtract(d, b, d);
c.s[i]++;
if (j == 0) break;
}
}
c.len = a.len;
while (c.len > 1 && c.s[c.len] == 0)
c.len--;
}
// 十进位右移
void RightShift(HP &x, int k)
{
for (int i=1; i<=x.len-k; i++)
x.s[i] = x.s[i+k];
x.len -= k;
if(x.len <= 0)
{
x.len = 1;
x.s[1] = 0;
}
}
// 十进位左移
void LeftShift(HP &x, int k)
{
int i;
for (i=x.len; i>=1; i--)
x.s[i+k] = x.s[i];
for (i=k; i>=1; i--)
x.s[i] = 0;
x.len += k;
}
#define MAXREM 1000000
HP rem[MAXREM];
int main()
{
int i, j, k, N;
char str[MAXREM];
HP one, tmp;
one.len = 1; one.s[1]=1;
while (cin >> str)
{
N = atoi(str);
if (N > MAXREM)
{
printf("ERROR: N(%d) IS TOO LARGE",N);
continue;
}
// 清空余数信息数组
for (i=0; i<N; i++)
rem[i].len = 0;
// 初始化唯一的个位数1
rem[1] = one;
// i表示当前搜索到N*M的第i位，j表示(10^i)%N
for (i=1,j=10%N; rem[0].len==0; i++,j=(j*10)%N)
{
// tmp表示大整数10^N
tmp = one;
LeftShift(tmp, i);
// 如果数组没有和tmp同余的数，则添入
if (rem[j].len == 0)
rem[j] = tmp;
for (k=1; k<N; k++)
{
// 遍历余数信息数组，若新产生出余数不同的数，则添入
int u = (j+k)%N;
// 为了防止刚加入的10^N被计算，加入条件rem[k].len <= i
if (rem[k].len && rem[k].len <= i
&& rem[u].len == 0)
Plus(tmp, rem[k], rem[u]);
if (u == 0)
break;
}
} www.2cto.com
Str2HP(str, tmp);
cout << "N*M: ";
PrintHP(rem[0]);
HP d;
Divide(rem[0], tmp, tmp, d);
cout << endl << "M: ";
PrintHP(tmp);
cout << endl;
}
}
作者：linyunzju
