一个非均质流水力坡度解析的新模型

摘要：提出了预计水平管道内固体颗粒处于多种移动状态下非均质流速度断面与水力坡度的模型，为非均质流管道运输的参数设计提供了一个新方法。

关键词：非均质流 水力坡度 附加压力 干涉力

　　非均质流在水平管道内流动时，固体颗粒的运动状态与它的粒径、形状、密度以及管道内径、管内浓度、非均质流流平均速度等有关，上述诸因素发生变化时，固体颗粒的运动状态也随之而改变。固体颗粒的运动状态决定着非均质流速度分布状态与管道摩阻损失的大小。本文从固体颗粒加速过程中相互发生动量传递的清水和固体颗粒的质量及它们的速度变化以及在它们之间发生的动量传递关系等这些基本问题分析出发，分析研究了水平管道内非均质流流动时，固体颗粒的运动状态与它的粒径、形状、密度等对非均质流速度分布的影响，管道内径、管内浓度、非均质流平均速度与水力坡度之间的关系，清水与固体颗粒之间的相互作用机制与机理，提出了预计水平管道内固体颗粒完全处于悬移、完全处于滑、跳移及一部分固体颗粒处于悬移，而另一部分固体颗粒处于滑、跳移状态下非均质流速度分布与水力坡度的模型，在弄清清水是如何搬运固体颗粒的机理及非均质流速度与水力坡度之间关系等方面，重新建立了一个理论框架。

1 固体颗粒加速时的运动方程及存在于加速管段上的附加压力

1.1 固体颗粒加速时的运动方程

　　对于固体颗粒处于悬移状态的非均质流，其固体颗粒加速时的运动方程为^[1，2]

式中 d_e是颗粒的球等价直径；πd_e³/6·ρ/2被认为是和固体颗粒一起加速的清水质量，也叫做假想质量；ρ和ρ_s是清水和固体颗粒的密度；f_D为清水对固体颗粒的拖曳力；f_h为存在于固体颗粒之间的干涉力。f_D、f_h的公式如下^[1，2]

式中 w_b是颗粒在水中有效重力，w_b=πd_e³(ρ_s-ρ)g/6；Rep是颗粒雷诺数，Rep=d_eV_tρ/μ；V_t 是单个固体颗粒的沉降终速度；μ是清水的粘度系数；v_w-v_s是液、固相间的滑移速度；C_Dr是以v_w-v_s为基准的阻力系数；v_w为清水的速度；v_s为固体颗粒的速度；α，β是颗粒Swanson形状系数；n是质数(用佐滕公式计算)；q是管内固体颗粒体积浓度；g为重力加速度。

1.2 固体颗粒加速时在加速管段上存在的附加压力

根据Rose的试验研究结果可知，固体颗粒加速时，在固体颗粒加速管段上存在一个附加压力ΔP_s，且这个附加压力ΔP_s和非均质流输送平均速度也就是定常流管段上的平均速度V_m之间有下面的关系^[3]

2 固体颗粒加速期间清水速度的变化分析

2.1 定常流管段断面上通过清水和固体颗粒的质量

　　管道口上任一微小面积dA上的非均质流的速度v_m及微小时间Δt内排出的固体颗粒质量m_s和清水质量m_w可分别用下面公式给出

式中 q,v_w,v_s分别为dA上的颗粒浓度，清水的速度和固体颗粒的速度。

2.2 由于动量交换引起的清水速度改变量分析

　　在管道口任一微小面积dA上微小时间Δt内排出的质量为m_s、m_w的固体颗粒与清水之间建立动量平衡方程有

式中 v、v_w^*为考察的这部分清水和固体颗粒发生动量交换前、后的流速。由式(7)，(8)，(9)，可得到由于动量交换而引起的清水速度改变量的计算公式如下

2.3 动量交换期间由于附加压力ΔP_s引起的清水速度变化分析

　　质量为m_w的清水与固体颗粒动量交换期间，一方面，由于动量转让于固体颗粒而使其本身速度由原来的v减至v_w^*，另一方面，则由于固体颗粒加速阶段存在一个附加压力ΔΡ_s而又使它的速度增加，若将其加速时间t划分成很多微小时间间隔Δt₁、Δt₂……Δt_i……Δt_n等，则在每一个时间间隔内，作用在质量为m_w的清水上的附加压力Δp_s1、Δp_s2……Δp_si……Δp_sn便可看成是不变的。这样，便可得到质量为m_w的清水在加速时间t内所受的冲量和为

为了分析方便，这里令Δt₁=Δt₂=……=Δt_i=……=Δt_n=Δt，这样式(11)则可写成

由此，可进一步得到由于这个冲量和所导致的质量为m_w的清水的速度增加量为

由上面分析可知，质量为m_w的清水与固体颗粒动量交换期间的实际速度改变量为

由式(14)可近一步推得

2.4 系数k₁取值的分析

　　对于管口断面A上微小时间Δt内排出的质量分别为M_s、M_w的固体颗粒、清水及管口断面A上的非均质流的平均速度V_m、清水的平均流速Ｖ_w及固体颗粒的平均速度Ｖ_s，上面的式(6)～(18)显然适用，这样将式(4)、(5)代入式(13)有

根据大量的试验研究表明，当固体颗粒在管道内处于悬移状态时，定常流管段上的非均质流的液、固相间的平均滑移速度Ｖ_w-V_s很小，因而有

用以平均速度V_m、V_w及V_s求得的平均系数K₁来代替式(18)中的系数k₁，这样式(18)则可写成下面形式

3 定常流状态下固体颗粒受力及运动分析

　　非均质流进入稳定流动状态后，固体颗粒、清水以及非均质流的速度均已达到一个恒定的值。由于此时固体颗粒的加速度dV_s/dt=0，根据式(1)则有

将式(2)代入式(24)，则得到

进而将式(25)与式(23)联立，则得到

4 非均质流的速度分布与清水速度分布的关系

　　对于光滑管路内处于紊流状态的清水来说，其速度分布v(y)可由下式给出

式中 v₀是管中心的清水速度；y=R-r，R为管道内半径，r为管道中心至半径方向的距离。清水中介入固体颗粒后，清水与固体颗粒之间进行动量交换及附加压力作用的最终结果，使得清水的速度由原来的速度v减少至v_w，使固体颗粒的速度由静止加速至v_s，并最终以该速度向前运动，清水速度和固体颗粒速度最终构成了非均质流的速度v_m。式(25)、(26)恰好是分析这些关系推导出来公式，因此，只要ψ(1)能确定，那么便可利用式(25)、(26)、(27)和式(6)来求解水平管道内非均质流的速度分布v_m(y)。根据Rose的试验研究可知，ψ(1)的取值与管道内两相流的平均速度V_m、固体颗粒的粒径d及固体颗粒与流体的密度比δ有关，且ψ(1)与Log₁₀(V_m²/gdδ²)之间的关系如图1所示。Ｒose给出的这一关系曲线仅适用于密度比δ=980～10000，Log₁₀(V_m²/gdδ²)＜-1的气、固两相流。而不适用于密度比δ=1～11，Log₁₀(V_m²/gdδ²)＞0的液，固两相流。为了确定可用于液、固两相流的ψ(1)值，利用ψ(1)＞0、ψ(1)随Log₁₀(V_m²/gdδ²)单调递增和它收敛于100/56(因式(22)的分母不能为0)的性质及Newitt(1972)^[4]，Brown et al.(1983)^[5]，Roco et al.(1986)^[6],Drand(1953)^[7]等的速度分布的实测结果、Bonnington^[8]的水力坡度的实测结果和本文提出的求解水平管道内非均质流的速度分布公式及水力坡度的计算公式，间接地拟合出适用于液、固两相流的ψ(1)～Log₁₀(V_m²/gdδ^２)关系曲线如图2。

5 加速期间内固体颗粒处于滑、跳移时的速度变化分析

　　对于粒径大于2mm的沙子等固体颗粒与清水所形成的非均质流，由于加速期间内固体颗粒在管内是处于滑、跳移移动状态，因此，由固体颗粒与管底之间摩擦而导致的固体颗粒速度改变量是必需要考虑的。清水传递给固体颗粒动量的一部分被摩擦力引起的动量所消耗，固体颗粒的最终速度v_s实际上是固体颗粒与清水之间发生动量交换所引起的速度改变量v_s^*(增加)与管摩擦引起的固体颗粒速度改变量Δv_s(减小)的和所形成的。式(18)已经不能反映清水实际速度改变量v-v_w与固体颗粒最终速度变化量v_s之间的关系。此时，固体颗粒的最终速度v_s可由下式给出

将式(29)、(30)代入式(18)则能得到加速期间内固体颗粒在管内是处于滑、跳移状态下的清水实际速度变化量的计算公式为

5.1 固体颗粒处于滑、跳移时的系数k₂取值分析

　　固体颗粒处于滑、跳移时，固体颗粒在加速段管段单位长度上所受的摩擦力F_F可由下式给出

式中 A是管道断面的面积；f是摩擦系数。由加速段上摩擦力F_F所造成的固体颗粒平均速度的改变量ΔV_s可由下式给出

根据Rose的研究可知，固体颗粒的加速距离L_a的计算公式为^[3]

上式中D是管道内径；d是固体颗粒的粒径；M_s是定常流管段断面上的固体颗粒质量的流量。M_s的计算公式如下

由于固体颗粒的加速时间t随加速距离L_a增大而增大，因而可以假设

这里，k'是常数。将式(37)代入式(34)有

将式(38)代入式(30)，并令V_m/V_s=k₃'；k₃=k'k₃'，这样则得到K₂平均值的计算公式如下

根据Ｎewitt^[1]的研究结果可知，当固体颗粒在管内处于滑、跳移状态时，固体颗粒与管底间的摩擦系数f与输送流体时的管摩擦阻力系数λ之间的关系是

这样，将式(40)代入式(39)则有

λ的计算公式为

式中 k_s是相对粗度；R_e是雷诺数。用平均系数K₁、K₂代替式(31)中的k_１、k₂，式(31)可进一步写成

5.2 固体颗粒处于滑、跳移时，定常流状态下的固体颗粒受力及运动分析

　　由于管摩擦阻力的存在，固体颗粒处于滑、跳移移动状态时，定常流状态下的固体颗粒运动方程已变成下面的形式

式中 f_f是作用在单个固体颗粒上的摩擦力，且f_f由下式给出

式中 n_p是单位长度管段上的固体颗粒数，n_p的计算公式为

将式(32)、(46)代入式(45)有

将式(2)代入式(44)有

利用以上式(27)、(43)、(48)和式(6)，就能求出固体颗粒在管内处于滑、跳移状态下的非均质流速度分布计算公式。

6 加速期间固体颗粒部分处于悬移，部分处于滑、跳移时的速度变化分析

　　对于固体颗粒部分处于悬移，部分处于滑、跳移状态的非均质流，加速期间内作用在固体颗粒上的管壁摩擦力F_F可由下式给出

k₄为处于滑、跳移运动状态的固体颗粒占全部固体颗粒总质量之比。同固体颗粒处于滑、跳移时的分析过程和获得的结果一样，此时计算清水实际速度变化量的计算公式的形式虽然与式(31)相同，但此时K₂的计算式已变成

根据费祥俊的研究可知，当非均质流的平均流速大于临界速度时，k₄可由下面的公式计算^[9]

式中 V_t为单个固体颗粒的沉降速度；V_m为非均质流的平均速度。

　　将式(51)代入式(50)和式(49)，进而将其结果代入式(31)和式(44)有

利用式(27)、(52)、(53)和式(6)，就能求出固体颗粒在管内处于滑、跳移状态下的非均质流速度分布计算公式。

7 非均质流的水力坡度

　　清水在管道内处于紊流状态流动时，其管道摩阻损失可由下面的公式给出

式中 L是管段长度；D是管内径；V是清水的平均速度；ρ是清水的密度。

　　显然，对于非均质流而言，式(54)已不能用来计算管道的摩阻损失，但是，由式(26)、(43)和式(52)不难看出，非均质流以平均速度V_m在管道内的流动实际上可以看成是清水以平均速度V在管内流动。进一步说，当存在于管段上的压差能使清水以平均流速V向前流动的话，那么，清水中介入了平均体积浓度为的固体颗粒群后，这个压差则只能使其混合物(非均质流)以速度V_m在管内流动。由此，以平均速度V_m流动的非均质流在管道内产生的管道摩阻损失也因此能被看成是清水以平均速度V在管道内流动时产生的管道摩阻损失。这样，只要利用给定的输送条件求出这个V，那么就可利用这个V来计算非均质流的管道摩阻损失和水力坡度。根据前面的分析结果，显然这个V的求解公式为

把利用上面公式求得的V代入公式(54)，则得到非均质流管道摩阻损失及管道水力坡度的计算公式如下

上面公式中，固体颗粒处于悬移状态时，k₄=0；固体颗粒处于滑、跳移状态时，k₄=1；固体颗粒部分处于悬移、部分处于滑、跳移状态时，k₄=11V_t/V_m。公式中C_Dr是以V_w-V_s为基准的阻力系数，F_h是以为基准求得的单个固体颗粒所受的干涉力。

8 固体颗粒移动状态的判断

　　固体颗粒处于什么样的移动状态，决定着使用那一个模型来预计管内非均质流的速度分布与水力坡度。平均速度处于均质流限界速度V_H以上的非均质流，可用悬移模型来预计非均质流的速度分布与水力坡度；平均速度介于堆积限界速度V_cd与浮游限界速度V_B之间的非均质流可用滑、跳移模型来预计非均质流的速度分布与水力坡度；平均速度介于浮游限界速度V_B与均质流限界速度V_H之间的非均质流可用部分固体颗粒处于悬移，部分固体颗粒处于滑、跳移模型来预计非均质流的速度分布与水力坡度。对于粒径比较单一的非均质流，其固体颗粒在管内所处的移动状态是容易判定的，所不容易判断的是粒径分布有一定范围的非均质流和细粒子占一定比例的浆体。另外k₄的计算公式(51)也并非适用于所有的输送条件^[9]。总之，不管用什么方法来判定固体颗粒的移动状态，选用模型时，粒子的移动状态必须基本符合模型的先决条件，否则，理论计算值与实测值之间的偏差就会超出允许的范围。对于粒径较为单一的非均质流，浮游限界速度V_B及均质流限界速度V_H可用下面的Newitt及Lazarus公式计算^[1]

9 理论计算结果与试验测试结果的对比

　　根据鲇川恭三^[10]，Brown et al.,Roco et al.,Drand等的流动试验条件及试验测试结果计算的清水速度、固体颗粒速度、非均质流速度以及它们和实测值的比较由图3示出。图中的纵坐标为自管底向上的距离z与管内径D的比值，双横坐标分别表示非均质流的速度v_m和管内浓度q，图中的实线、点划线和虚线分别表示非均质流速度、清水速度和固体颗粒速度，非均质流的速度实测值用空心小圆表示。当固体颗粒处于悬移时，如图3(a)示出那样，由于v_w-v_s很小，非均质流速度、清水速度以及固体颗粒速度曲线三者几乎重合，因而在图面上很难看出清水速度及固体颗粒速度分布曲线。然而，当固体颗粒处于滑跳、移时，正如图3(b)示出那样，由于v_w-v_s很大，因而在图面上基本能看出清水速度及固体颗粒速度分布曲线。当固体颗粒部分处于悬移，部分处于滑跳时，正如图3(c)示出那样，v_w-v_s的大小则主要由处于滑、跳移固体颗粒所占的比例来决定。从图3不难看出，计算的速度断面与实测值之间的大多数点据偏差不大于3%，最大偏差不大于8%。图4为示出了根据上述专家学者给出的输送条件计算的水力坡度与实测值之间的比较结果。图中的纵坐标表示水力坡度的计算值，横坐标表示水力坡度的实测值。图4(a)为固体颗粒处于悬移状态下理论求得的水力坡度值与实测值之间的比较。图4(b)为固体颗粒处于滑、跳移状态下理论求得的水力坡度值与实测值之间的比较。图4(c)为固体颗粒部分处于悬移，部分滑、跳移状态下理论求得的水力坡度值与实测值之间的比较。从图4可以看出，理论计算结果与实测值间的绝大多数点据偏差不大于10%。

10 结论

　　本文在详细分析固体颗粒加速过程中的清水与固体颗粒速度变化及动量交换前提下，提出了固体颗粒处于悬移，滑、跳移及部分固体颗粒处于悬移而部分固体颗粒处于滑、跳移状态下预计非均质流速度断面与水力坡度新模型，并利用有限的试验数据间接地确定了适用于液、固两相流的ψ(1)～Log₁₀(V_m²/gdδ₂)关系曲线及系数k₃的取值(k₃=3.742)，在已知管内浓度分布的情况下，可用本文给出的公式计算水平管道内非均质流的速度断面，也可在已知平均流速、输送浓度、管径、管壁粗度及固体颗粒特性参数的前提下，计算非均质流的水力坡度。

[1] 佐藤博。输送システム，秋田活版印刷株式会社，1995，86～164.

[2] 佐藤博。崔玉顺等。管内浓度およひすべり速度の算定式。资源。素材学会志，1989，105(6)：457～４６３。

[3] Rose,H.E.and Duckworth,R.A.Transport of Solid Particles in Liquids and Gases.THE ENGINEER 21 March 1969,226(12):430～434.

[4] Newitt,D.M.,Richardson,J.and Shook,C.,Hydraulic Conveying of Solid Horizontal Pipe,Part Ⅱ,Interaction Between Fluids & Particles,LONDON:INSTN CHEM.ENGRS,87～100.

[5] Brown,N.P.,Shook,C.A.,Peters,J.,and Eyre,D.A Probe for Point Velocities in Slurry Flows,Can.J.chem.engineering,1983,61(8):597～602.

[6] Roco,M.C. and Shook,A MODEL FOR TURBULENT SLURRY FLOW.C.A.J.Pipelines,1984,4(1):3～13.

[7] Durand,R.,Basic Relationships of the Transportation of Solids in Pipes Experimental Research,Proc.Intern,Assoc.Hydr.Res.,5th Congr.Minneapolis,1953,89～103.

[8] Bonnington,S.T.,Experiments on the Hydraulic Transport of Mixed Size Solid,British Hydromechanics Research Association,R.R.637,Cranfiald,Bedford,1959.

[9] 费祥俊。浆体与粒状物料输送水力学。清华大学出版社，1994，249～297.

[10] Ayukawa,K.Hydraulic,Transport of Suspended Solid Particles in a Horizontal Pipe,The First Report Velocity Distribution and Concentration Distribution,Trans.Japan Soc.Mech.Engrs.,1972,38(.315),in Jap.,p.2863～2872