考虑外界温度影响的水管冷却等效热传导方程
摘要：水管冷却是大体积混凝土温度控制的重要措施，由 于水管附近温度梯度很大，直接用有限元法水管冷却效果，必须采用密集网格，有较大困难，目前广泛采用笔者在［3］中提出的等效热传导方程，该方程已考虑了混凝土的 初始温度和绝热温升，但没有考虑外界温度的影响，本文给出在水管冷却等效热传导方程中 考虑外界温度影响的计算方法，使等效热传导方程趋于完善。
关键词：水管冷却 等效热传导方程 外界温度
水管冷却是大体积混凝土中控制温度的重要措施，在进行大体积混凝土的仿真计算时，必须考虑水管冷却的影响，笔者在文献［1，2］中给出了用有限元方法计算水管冷却效果的方法，计算精度是好的，但由于水管附近温度梯度很大，水管的半径只有1cm左右，如采用线性单元，水管附近有限元的尺寸也只能是1～2cm左右，尽管可以逐步放大单元，仍然需要很多结点，例如平面尺寸15m×20m的混凝土浇筑块，如采用1.5m×1.5m水管间距，在1.5m高的一个浇筑层内即需要约1万个结点，如计算15个浇筑层，需要约15万个结点，如计算100个浇筑层，需要约100万个结点，而且混凝土高坝仿真计算历时往往长达数年，在现有计算条件下，实际上难以实现。采用笔者在文献［3］中提出的等效热传导方程，水管的作用在函数(t)和ψ(t)中考虑，采用通常的有限元网格即可进行计算，因而为混凝土高坝的仿真计算提供了极大的方便。在混凝土坝仿真计算过程中，初始温差和绝热温升是两个主要因素，文献［3］中已经考虑，外界温度对水管冷却效果也有一定影响，但计算较复杂，原来没有考虑。本文给出在水管冷却等效热传导方程中外界温度影响的计算方法，使等效热传导方程趋于完善。 (1)
1 单面冷却时外界温度的影响
1.1 单面冷却、外界温度为常量 如图1所示半无限大体，设初温为Tw，边界温度为Ta，按第一类?边界条件计算，传导方程为
边值条件为
| (2) |
上述问题的解为［5］
| (3) |
式中：
,erfu称为误差函数，a为导温系数。
对于第三类边界条件，在混凝土外面增加虚拟厚度λ/β，其中λ为混凝土导热系数，β为表面放热系数，再作变换
x = x′+ λ/β | (4) |
经过这样变换后，仍可按第一类边界条件计算［4］。
|
|
图1 半无限体 | 图2 水管与单面冷却 |
在推导水管冷却等效热传导方程时，是以水管水温Tw作为温度场的基准的，如图2所示，考虑单侧表面冷却与水管冷却的作用，设混凝土初温为Tw，外界温度(气温或水温)为Ta，水管至表面的距离为
h = h′+ λ/β | (5) |
式中：h′为水管外面混凝土真实厚度，λ/β为虚拟厚度。
由式(3)，在水管附近时刻t的混凝土温度为
| (6) |
如图2，设混凝土的平均温度为T?m,显然，Tm>T(h,t)。冷却水管附近的温度梯度比较大，离水管越远，其影响越小，因此，在计算水管冷却效果时，用T(h,t)比较合适，如采用平均温度Tm则明显偏大，将夸大水管冷却的效果。
在时刻t与t+Δt之间，外界温度在水管附近引起的温度增量为
| (7) |
考虑水管冷却效果后，温度增量为：
| (8) |
式中：
| (9) |
其中：D为冷却柱体直径；L为冷却水管长度；cw、ρw、qw分别为冷却水的比热、容重和流量。
由于冷却水管的作用，使温度下降
ΔT(h,tj)［(t-tj)-1］=ΔT(h,tj)［e-p(t-tj)-1］ |
从0到t积分，由于水管冷却作用，在平均意义上，混凝土温度下降
| (10) |
式中：
| (11) |
erf∞=1.00，erf4.0=0.999，999，988，在
与
之间，
，000，
，即在τ=0与τ=h2/64a之间，
,因此
可以从t01开始计算，而
。?
例如，设h=1.60m,a=0.10m２／d，则t01=0.40d，即可从0.40d开始计算。如以中点龄期tj＋0.50Δtj代替tj，则
| (12) |
1.2 单面冷却、外界温度随时间而变化 外界温度本来是随时间而连续变化的，今用阶梯形变化代替之，如图3所示，设在时间t=t0、t1、…ti、ti+1…，相应的外界温度增量为ΔTa0、ΔTa1、…ΔTai、ΔTa,i+1…。
对于t=ti的外界温度增量ΔTai,由式(10，11)，冷却水管的影响如下：
| (13) |
式中
| (14) |
从0到t积分，对于外界温度变化的全部历程，冷却水管的影响计算如下：
| (15) |
2 两面冷却
在坝块的边缘上，存在着两面冷却问题，如图4所示，根据热传导理论中的乘积定理，可知：
| (16) |
|
|
图3 外界温度变化 | 图4 两面冷却 |
由此得到x,y点的温度如下：
| (17) |
在时间t与t+Δt之间，不考虑水管冷却的作用，在x=h1、y=h2点的温度增量为：
| (18) |
式中：
| (19) |
以
代替式(15)中的
，在两面散热条件下，对于外界温度变化的全过程，冷却水管的影响可如下：
| (20) |
式中：
| (21) |
3 三面冷却
在坝块尖角上，存在着三面冷却问题，如图5所示，根据热传导理论中的乘积定理，x,y,z点的温度可计算如下：
| (22) |
仿照上节的推导，在三面冷却条件下，对于外界温度变化的全过程，冷却水管的影响可计算如下： |
| |||
| (23) | |||
式中： |
| |||
| (24 |
4 大体积混凝土水管冷却的等效热传导方程
现在得到大体积混凝土水管冷却的等效热传导方程如下：
| (25) |
式中：
考虑初始温差T0-Tw的影响，
考虑混凝土绝热温升的影响，
考虑外界温度的影响。
由［3］可知：
| (26) |
式中：p见式(9)。
当绝热温升为
| (27) |
时，ψ(t)为
| (28) |
η(t)见式(15)、式(20)、式(23)。
如无水管冷却，混凝土绝热温升为θ(t)=θ0(1-e-mt)，有水管冷却时，混凝土的温升为θ0ψ(t)，因此，对于混凝土绝热温升，水管冷却在单位时间内所吸收的热量为
| (29) |
对于混凝土初始温差，水管冷却在单位时间内吸收的热量为
；对于外界气温影响，水管冷却在单位时间内吸收的热量为。
5 算例
设混凝土冷却柱体直径D=1.692m，导温系数a=0.10m2/d，导热系数λ=226.1kJ/(m·d·℃)，冷却水比热cw=4.187kJ/(kg·℃)，密度ρw=1000kg/m3，流量qw=0.90m3/h=21.6m３／d，水管长度L＝200m，混凝土初始温度T0=25℃，外界空气温度Ta=25℃，表面放热系数β=2261kJ／(m2·d·℃)?，混凝土绝热温升为：
|
由式(9)，k=2.09-1.35×0.500+0.320×0.5002=1.495，
? p=ka/D2=1.495×0.10/1.6922=0.0522，
? 
，
? |
由式(29)，对于混凝土绝热温升，水管冷却在单位时间内所吸收的热量为
? |
由于初始温差T0-Tw，在单位时间内水管吸取的热量为 |
| ||
| |||
水管至混凝土表面距离h′=1.50m,λ／β=0.10，h=h′+λ/β=1.60m，由式(10)，由于外界温度影响，水管在单位时间内吸收的热量为 |
? |
? |
结果见图6。由图6可见，对于本算例来说，冷却水管对于混凝土初始温差及绝热温升的影响比较大，而受外界气温的影响相对较小，如果表面暴露时间不超过5d，即使忽略其影响，误差也不大。这是由于在水管附近的温度T(h,t)远小于气温Ta的缘故。例如，当t=6d，在混凝土表面，Ta-Tw=25.0-5.0=20.0℃，而在水管附近，h=1.60m?处，T(h,t)-Tw=7.884-5.0=2.884℃，只有表面温差Ta-Tw的0.144倍。
6 结语
本文给出的水管冷却等效热传导方程(25)考虑了初始温差、绝热温升和外界温度变化的影响，考虑的因素比较全面。冷却水管的作用分别用3个函数
、ψ(t)、η(t)考虑，采用一般的有限元网格即可进行计算，为混凝土高坝的仿真计算带来了极大的方便。
参 考 文 献：
［1］朱伯芳，等.水工混凝土的温度应力与温度控制［M］.北京：水利电力出版社，1976.
［2］朱伯芳，蔡建波.混凝土坝水管冷却效果的有限元分析［J］.水利学报，1985，(4)：27-36.
［3］朱伯芳.考虑水管冷却效果的混凝土等效热传导方程［J］.水利学报，1991，(3)：28-34.
［4］朱伯芳.大体积混凝土温度应力与温度控制［M］.北京：电力出版社，1999.
［5］A.B.雷柯夫.热传导理论［M］.裘烈钧等译，北京：高等出版社，1955.