基于正交有限脊波变换的图像压缩
来源：岁月联盟
时间：2010-08-30
0 引言
小波的出现在许多领域取得了广泛的应用，并迅速成为诸多学科的重要分析工具之一。小波变换以其良好的时频局域特性以及多分辨分析能力在数字信号处理和数字图像压缩方面取得了巨大的成功[1][2]。在新的静止图像压缩标准ISO 15444（即JPEG2000）中就是把小波变换作为其核心技术。但是小波变换只能反映信号的零维奇异性，对于具有二维分段光滑的信号或一维直线奇异性的图像，小波变换却不是最“稀疏”的表示方法[3][4]。图像中包含有大量的纹理特征，线奇异性表现比较突出，小波变换不能达到最优的逼近[5]。为了克服小波的这种不足，Candès等人提出了一种新的多尺度变换—脊波变换（Ridgelet transform）[3]，它特别适合于具有直线或超平面奇性的高维信号的描述，能够有效地处理二维图像的线奇异性，较好的对此类信号进行“逼近”，是比小波更好的稀疏表示图像的工具[5]。 本文利用正交有限脊波变换对图像进行分解，然后对变换后的系数进行量化和熵编码，以达到图像压缩的目的。实验表明,同基于小波变换的压缩算法相比,该算法能提高图像的压缩比,同时保持较低的失真度。1 有限脊波变换
给定一个双变量可积的函数f(x) ，它在R2 空间（二维实空间）上的二维连续脊波变换（2D continuous ridgelet transform）[3][4]定义为：
（1） 其中 
是二维的脊波函数，它的定义为： 
(2) 式（2）中，
是小波类的一维函数，参数 满足如下的条件：a>0 ，b∈R ，
。脊波逆变换可以通过如下的公式完成： 
(3) 考虑到在 R2 空间上小波变换可以写成如下式子： 
（4） 式中二维小波函数是由一维小波所长成的，即满足： 
（5） 其中一维小波
。 可以看出脊波变换和二维小波变换非常类似，只是脊波用线参数来代替小波中的点参数。小波在处理具有孤立的点奇异性图像时非常有效，而脊波变换在表示线奇异性图像时表现更优。实际上，我们可以把脊波变换看成是在直线上的一维小波变换。而在二维空间点和直线是通过Radon变换联系在一起的。 Radon变换可以写作为： 
(6) 由(6)式可见，f(x) 的Radon变换是f(x) 沿不同θ方向的投影；而 f(x) 的脊波变换看作是先对 f(x) 进行Radon变换，然后沿着每个积分方向做一维小波变换的结果，即： 
(7) 正因为脊波变换在Radon域上对各个方向进行一维小波变换，将图像的线奇异性转换为点奇异性，充分利用小波变换对点奇异性的良好表示特性来得到具有线奇异性图像的稀疏表示。脊波逆变换可以通过沿每一方向做一维小波逆变换，然后进行Radon逆变换得到。 脊波变换离散化是通过离散Randon变换外加离散小波变换得到。然而Randon变换的离散化是一个比较复杂的问题，在众多的离散化算法中，有些存在大量的冗余，有些虽然克服了大的冗余度，但是得到其所对应的逆变换又比较困难。其中有限Radon变换FRAT（Finite Radon Transform）[6][7]是其中比较好的离散化算法之一。有限Radon变换是有限大小的二维离散图像实现Radon变换的离散化方法。 一个N×N（N要求是一个素数）大小的图像 f(i,j)，其中 ｛0,1,2…,N－1｝。它的有限Radon变换FRAT定义为： 
(8) 其中， 
是满足斜率 k和截距 l 的直线上的所有象素点的集合，定义如下： 
, 当 k∈｛0,1,2…,N－1｝ 
, 当 
(9) 由式（8）(9)可知，有限Radon变换是满足要求的直线上的图像象素点灰度值的累加和。一个N×N大小的图像经有限Radon变换后，将得到(N＋1)×N大小的矩阵，它有N＋1个斜率方向，每个方向上有N个系数。 有限Radon变换的逆变换可以通过有限逆投影变换FBP（Finite Back Projection）来得到： 
(10) 其中Pij指的是所有通过点(i,j)的直线的斜率k 和截距 l 的集合，即：
… … 
(11) 为了获得更好的能量集中性，由式(8)和(10)所定义的有限Radon变换（FRAT）和反变换FBP要求变换的图像均值为零[8]，对于均值不为零的图像可以在变换前先减去均值，以保证变换前的图像均值为零；反变换回来后再加上图像均值即可恢复原图像。 可逆的脊波变换可以通过在FRAT每个方向上进行一维离散小波变换得到，这种过程称作为有限脊波变换（FRIT）。考虑到FRAT系数的周期特性，所以小波变换也要选择周期性的小波。有限脊波变换的示意图如 图 1所示。
1.3 正交有限脊波变换
FRAT变换本身具有一定的冗余，这种冗余可以通过采用一维小波变换来去除，由此可以获得正交有限脊波变换。当小波变换采用正交树结构滤波器组，所有小波基函数具有零均值时，可以得到正交FRIT变换。Minh N. Do等在[8]中已经证明只要满足Z条件（Condition Z） 的基函数
，就可以定义正交有限脊波变换如下： 
（12） 在小波对FRAT的方向系数进行每一层分解过程中，将把系数的冗余都放到尺度系数中， 而当小波采用最大分解层数时，各个不同的方向上的尺度系数是相同的，所以我们可以只保留一个系数以去除这种冗余性，这样就得到了非冗余的正交FRIT变换。2 试验仿真
图像压缩在于对图像的量化和编码上，如果待压缩的矩阵元素中小系数分布比较广泛，同时小系数所代表的内容为整个图像的次要内容时，压缩效果就比较明显。由于FRIT对图像的稀疏表示，使其在图像矩阵分解后的系数矩阵中大系数较少，大部分都是小系数，非常适合进行图像压缩。本文采用正交有限脊波变换对图像进行分解,考虑到有限脊波变换要求输入图像的尺寸为素数大小，所以先要对图像进行预处理。算法描述： 1） 将图像转换为素数大小。 2） 提取图像的均值。 3） 用正交有限脊波变换对零均值矩阵进行分解。 4） 对系数进行标量量化。 5） 对量化后的矩阵进行扫描、算术编码。 在使用正交有限脊波变换时，采用了正交小波db9/7,量化采用循环逐级量化，以此可以控制调节压缩率，扫描方式为逐列扫描。对于许多测试的图像来看，算术编码一般比赫夫曼编码有更高的压缩效率，所以在这里采用算术编码。在对图像矩阵进行正交有限脊波变换之前提取出图像的均值，是为了使得变换矩阵有更好的能量集中性[8]。 为了证明压缩的有效性，本文用这种算法对标准图像Lenna(256×256×8bit)和House(256×256×8bit)进行的实验，并且同小波变换压缩算法进行了比较。为了使得比较有意义，小波也采用db9/7，扫描方式用zigzag方式，并且采用相同的算术编码方法。图2给出了Lenna标准测试图像用正交有限脊波变换压缩时在不同压缩率下的重建图像。
表1给出了在不同的压缩比下，两种方法分别对两个标准图像的进行压缩后重建图像的峰值信噪比（PSNR）。图3给出了Lenna图像在这两种压缩算法下的压缩性能比较。很明显可以看出，本文方法有比较好的压缩效果。在相同的压缩比下，正交有限脊波变换可以获得比小波变换更高的峰值信噪比。对于含有明显的直线奇异特征的图像，压缩性能更好。表1两种方法重建图像的峰值信噪比
