Hilbert变换在探地雷达数据处理中的应用
来源：岁月联盟
时间：2010-08-30
1 引言
探地雷达（Ground Penetrating Radar）是近几年迅速起来高分辨高效率的无损探测技术，向地下发送脉冲形式的高频宽带电磁波，利用地下介质电性参数差异，根据回波信号的振幅、波形和频率等运动学特征来分析和推断介质结构和物性特征，具有快速便捷、操作简单、抗干扰和场地适应能力强、探测分辨率高等方面的特点，目前已成为工程检测和勘察最为活跃的技术方法之一。雷达的探测必须经历数据的采集、处理和解释等三个步骤，数据处理的目的就是要压制干扰，以最大限度的分辨在雷达图像剖面上显示反射波，提取有效信息，因此信号处理的好坏直接关系到最终资料解释的正确与否，是至为关键的一步。 探地雷达的资料处理在理论上属于数字信号处理范畴，希尔伯特（Hilbert）变换在本质上是一种全通滤波器，是信号分析处理中的一种重要方法, Hilbert变换巧妙地应用解析表达式中的实部与虚部的正弦和余弦关系，定义出任意时刻的瞬时频率、瞬时相位及瞬时幅度, 使得对于短信号和复杂信号的瞬时参数的提取成为可能，从而能更有效地、真实地获取信号中所含的信息，有利于分析地下介质的分布情况。本文将Hilbert变换用于探地雷达资料的数据处理中，提取出瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率，即“三瞬”信息，为后续的雷达资料解释提供了很好的依据。2 Hilbert变换的算法
2.1 Hilbert变换公式
雷达记录x(t) 的Hilbert变换公式
（1） 变换因子的时间响应h(t) 为
（2） 其频率响应 
由上式可知，一个是实信号经过Hilbert变换之后，相位谱要发生90º相移，因此Hilbert变换又可称为90º相移滤波。2.2 Hilbert变换算法
设一个解析信号可表示为依赖于时间的复变量
(3) 式中， x(t)是信号本身，y(t) 是它的正交。正交是记录信号的90º相移翻版。对x(t) 作Hilbert变换就可得到
(4) 代入方程(3)，我们有：
(5)或 
(6) 这样，要得到探地雷达单道x(t) 的解析信号u(t) 只要对该道加上下列算子：
当在傅立叶变换域中是解析的，这个算子对负频率就是零。因此复数道u(t)不包含负频率成分。 一旦算出了u(t)，就可以指数形式表达：
(7) 式中 
(8)及 
(9) 这里 R(t)代表瞬时振幅，φ(t) 代表瞬时相位。 对瞬时相位还可用下面另一种方法。对方程（7）两边取对数得,
(10) 因此
(11) 式中，Im是虚部。 瞬时频率是瞬时相位函数的时间变化速率：
(12) 对方程(11)对时间求导：
(13) 为实际实现，方程(13)写成差分方程：
(14) 最后对方程(14)简化得,
(15)3 Hilbert变换的应用效果
本文利用Hilbert变换算法对某地下人防通道采集的探地雷达数据进行了处理，探测天线为100MHz，剖面时间窗为140ns，处理结果如图1所示，椭圆圈出人防通道的具体位置。 图1(a)是原始剖面，(b)是对原始剖面进行Hilbert变换后的瞬时振幅剖面,(c)是对原始剖面进行Hilbert变换的瞬时相位剖面,(d)是对原始剖面进行变Hilbert变换的瞬时频率剖面。 从结果对比来看，Hilbert变换对公路塌陷有良好的反应，在Hilbert变换运算过程中，通过求取瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率剖面，强化了介质对雷达波的反射和吸收对比度，从而在某种程度上可以提高异常信号的分辨能力。
图1 Hilbert剖面